📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
[1단계] $p$의 진리집합 $P$: $|x| < 2 \Leftrightarrow -2 < x < 2$.
[2단계] $q$의 진리집합 $Q$: $x^2 < a$에서 의미가 있으려면 $a > 0$이어야 하며, $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$.
[3단계] $p$가 $q$이기 위한 필요충분조건이려면 $P = Q$ 이어야 한다.
[4단계] $\sqrt{a} = 2 \Rightarrow a = 4$.

📖 풀이:
[1단계] 거리 제곱을 좌표로 표현한다.
$\overline{PA}^2 = (x+2)^2 + y^2$
$\overline{PB}^2 = (x-4)^2 + y^2$
[2단계] 두 식을 더하면
$(x+2)^2 + (x-4)^2 + 2y^2 = 40$.
[3단계] 전개: $(x^2+4x+4) + (x^2-8x+16) + 2y^2 = 40$
$\Rightarrow 2x^2 - 4x + 20 + 2y^2 = 40$.
[4단계] 양변을 $2$로 나누고 이항: $x^2 - 2x + y^2 = 10$.
[5단계] 완전제곱 꼴로: $(x-1)^2 + y^2 = 11$. 중심 $(1,0)$, 반지름 $\sqrt{11}$인 원이다.

📖 풀이:
[1단계] $f(2x+1) = 4x - 3$에서 $f$의 정의식을 찾기 위해 $t = 2x + 1$로 치환하면 $x = \dfrac{t-1}{2}$.
[2단계] 이를 대입: $f(t) = 4 \cdot \dfrac{t-1}{2} - 3 = 2(t-1) - 3 = 2t - 5$.
[3단계] $f^{-1}(5) = k$ 라 하면 $f(k) = 5$, 즉 $2k - 5 = 5$.
[4단계] $2k = 10 \Rightarrow k = 5$. 따라서 $f^{-1}(5) = 5$.

📖 풀이:
[1단계] 양 끝끼리 묶는다: $(x-1)(x-4) = x^2 - 5x + 4$, $(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$.
[2단계] $t = x^2 - 5x$로 치환: 부등식은 $(t+4)(t+6) \leq 24$.
[3단계] 전개: $t^2 + 10t + 24 \leq 24 \Rightarrow t^2 + 10t \leq 0 \Rightarrow t(t+10) \leq 0$, 즉 $-10 \leq t \leq 0$.
[4단계] $x^2 - 5x \leq 0 \Rightarrow x(x-5) \leq 0 \Rightarrow 0 \leq x \leq 5$.
$x^2 - 5x \geq -10 \Rightarrow x^2 - 5x + 10 \geq 0$. 판별식 $= 25 - 40 = -15 < 0$이므로 모든 실수 $x$에서 성립.
[5단계] 따라서 $0 \leq x \leq 5$. 정수는 $0, 1, 2, 3, 4, 5$의 $6$개.

📖 풀이:
[1단계] 세제곱 합 공식 $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$를 이용한다.
[2단계] $x+y = 5$를 대입: $x^3 + y^3 = 5^3 - 3xy \cdot 5 = 125 - 15xy$.
[3단계] 조건 $x^3 + y^3 = 35$와 같다고 놓는다: $125 - 15xy = 35$.
[4단계] $15xy = 90 \Rightarrow xy = 6$.
[참고] $x+y=5, xy=6$이면 $x,y$는 $t^2 - 5t + 6 = 0$의 두 근, 즉 $2, 3$이므로 실근이 존재함을 확인할 수 있다.

📖 풀이:
인수정리에 의해 $x-1$이 $P(x)$의 인수이면 $P(1) = 0$이다. 대입하면 $P(1) = 1 + a - 5 + 6 = a + 2$. 따라서 $a + 2 = 0$이므로 $a = -2$이다.

📖 풀이:
$i$의 거듭제곱은 $i, -1, -i, 1$이 반복되므로 연속한 네 항의 합은 $0$이다. $50 = 4 \times 12 + 2$이므로 앞의 48개 항의 합은 $0$이고, 남은 두 항은 $i^{49} + i^{50} = i + (-1) = -1 + i$이다.

📖 풀이:
서로 다른 $5$개에서 $3$개를 뽑아 일렬로 나열하는 순열이다. $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$이다.

📖 풀이:
일대일함수는 정의역의 서로 다른 원소를 치역의 서로 다른 원소에 대응시키는 함수이다. $X$의 세 원소 각각을 $Y$의 서로 다른 원소에 대응시켜야 하므로 그 개수는 $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$이다.

📖 풀이:
포함배제 원리에 의해 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 15 + 12 - 5 = 22$이다. 여집합은 전체에서 $A \cup B$를 빼면 되므로 $n((A \cup B)^c) = n(U) - n(A \cup B) = 30 - 22 = 8$이다.

📖 풀이:
곱셈공식 $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$를 이용한다. 대입하면 $5^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 6$이므로 $a^2 + b^2 + c^2 = 25 - 12 = 13$이다. $abc$ 값은 이 문제에서 사용하지 않는다.

📖 풀이:
같은 것이 있는 순열의 공식을 적용한다. $h$가 세 번 반복되므로 전체 배열 수는 $\dfrac{6!}{3!} = \dfrac{720}{6} = 120$이다.

📖 풀이:
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(ax + b) - 3 = 2ax + 2b - 3$이다. 이것이 $4x + 1$과 항등식으로 같으므로 계수를 비교하면 $2a = 4$, $2b - 3 = 1$이다. 따라서 $a = 2$, $b = 2$이므로 $a + b = 4$이다.

📖 풀이:
서로 다른 두 양의 실근 조건은 세 가지이다. (1) 판별식 $D = 36 - 4k > 0 \Rightarrow k < 9$. (2) 두 근의 합 $= 6 > 0$ (항상 성립). (3) 두 근의 곱 $= k > 0$. 세 조건을 모두 만족하는 범위는 $0 < k < 9$이므로 정수 $k$는 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$의 $8$개이다.

📖 풀이:
완전제곱 꼴로 변형하면 $f(x) = (x - 1)^2 + 2$이다. 꼭짓점은 $(1, 2)$로 정의역 내부에 있다. 따라서 최솟값은 $f(1) = 2$. 구간 양 끝 값은 $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$, $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$이므로 최댓값은 $6$이다. 합은 $2 + 6 = 8$이다.

📖 풀이:
$P$의 좌표는 $\left(\dfrac{2 \times 8 + 1 \times 2}{2+1}, \dfrac{2 \times 9 + 1 \times 3}{2+1}\right) = (6, 7)$이다. $Q$의 좌표는 $\left(\dfrac{2 \times 8 - 1 \times 2}{2-1}, \dfrac{2 \times 9 - 1 \times 3}{2-1}\right) = (14, 15)$이다. 따라서 $M = \left(\dfrac{6+14}{2}, \dfrac{7+15}{2}\right) = (10, 11)$이다.

📖 풀이:
$t = x^2 + x$로 치환하면 $t^2 - 2t - 3 = 0$, 즉 $(t-3)(t+1) = 0$이므로 $t = 3$ 또는 $t = -1$이다. (1) $x^2 + x - 3 = 0$: 판별식 $1 + 12 = 13 > 0$이므로 두 실근을 가지며, 근과 계수의 관계에 의해 합은 $-1$이다. (2) $x^2 + x + 1 = 0$: 판별식 $1 - 4 = -3 < 0$이므로 허근만 갖는다. 따라서 모든 실근의 합은 $-1$이다.

📖 풀이:
전체 경우 $_9C_4 = 126$에서 여학생이 $0$명 또는 $1$명 포함되는 경우를 뺀다. 여학생 $0$명(남학생 $4$명): $_5C_4 = 5$. 여학생 $1$명(남학생 $3$명): $_5C_3 \times _4C_1 = 10 \times 4 = 40$. 따라서 구하는 경우의 수는 $126 - 5 - 40 = 81$이다.

📖 풀이:
$f(x) = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$은 $x \ge -1$에서 증가함수이므로 그래프가 $y = x$에 대해 대칭인 역함수와의 교점은 모두 $y = x$ 위에 존재한다. 따라서 $f(x) = x$를 풀면 된다. $x^2 + 2x = x$, 즉 $x^2 + x = 0$이므로 $x(x+1) = 0$. 해는 $x = 0$ 또는 $x = -1$이며 둘 다 $x \ge -1$을 만족한다. 실근의 합은 $0 + (-1) = -1$이다.

📖 풀이:
곱셈공식 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$를 이용한다. 양변에 주어진 값을 대입하면 $4^2=a^2+b^2+c^2+2\cdot 5$. 즉 $16=a^2+b^2+c^2+10$이므로 $a^2+b^2+c^2=6$.

📖 풀이:
$i$의 거듭제곱은 4개 주기로 반복된다: $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$. 20은 4의 배수이므로 4개씩 묶으면 5묶음이 모두 $0$이 되어 합은 $0$이다.

📖 풀이:
두 점 사이의 거리 공식 $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$를 적용한다. $d=\sqrt{(2-(-1))^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

📖 풀이:
분자를 분모에 대해 변형한다. $\dfrac{2x-1}{x+3}=\dfrac{2(x+3)-7}{x+3}=2-\dfrac{7}{x+3}$. 따라서 그래프는 $y=-\dfrac{7}{x}$를 $x$축 방향으로 $-3$, $y$축 방향으로 $2$만큼 평행이동한 것이며, 점근선은 $x=-3$, $y=2$이다. 두 점근선의 교점은 $(-3, 2)$.

📖 풀이:
점 $(x_1, y_1)$에서 직선 $ax+by+c=0$까지의 거리 공식 $d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$를 적용한다. $d=\dfrac{|3\cdot2+4\cdot(-1)-7|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|6-4-7|}{\sqrt{25}}=\dfrac{5}{5}=1$.

📖 풀이:
$f(x)=-(x^2-4x)+1=-(x-2)^2+5$이므로 위로 볼록한 포물선이고 꼭짓점은 $(2, 5)$. 꼭짓점의 $x$좌표 $2$가 구간 $[0, 3]$에 포함되므로 $x=2$에서 최댓값 $5$. 양 끝값을 비교하면 $f(0)=1$, $f(3)=-9+12+1=4$이므로 최솟값은 $f(0)=1$. 따라서 합은 $5+1=6$.