📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
1단계: $f(x)=x^3-3x^2+x+a$가 중근 $\alpha$와 다른 한 근 $\beta$를 가지려면 $f(\alpha)=0$이고 $f'(\alpha)=0$이어야 한다.
2단계: $f'(x)=3x^2-6x+1=0$에서 $\alpha=\frac{3\pm\sqrt{6}}{3}$이다.
3단계: $3\alpha^2-6\alpha+1=0$이므로 $\alpha^2=2\alpha-\frac{1}{3}$이고, $\alpha^3=\alpha\cdot\alpha^2=\frac{11\alpha}{3}-\frac{2}{3}$이다.
4단계: $f(\alpha)=0$에서 $a=-\alpha^3+3\alpha^2-\alpha=-\left(\frac{11\alpha}{3}-\frac{2}{3}\right)+3\left(2\alpha-\frac{1}{3}\right)-\alpha=\frac{4\alpha-1}{3}$이다.
5단계: $\alpha=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$이면 $a=\frac{9+4\sqrt{6}}{9}\approx 2.09>0$이고, $\alpha=\frac{3-\sqrt{6}}{3}$이면 $a=\frac{9-4\sqrt{6}}{9}<0$이다.
6단계: 따라서 양수 $a=\frac{9+4\sqrt{6}}{9}$이다. (중근을 만드는 두 $a$값은 $27a^2-54a-5=0$의 두 근으로, 합 $2$, 곱 $-\frac{5}{27}$로 검산된다.)

📖 풀이:
1단계: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$이고, $x^2+y^2 \geq 2xy$에서 $2xy \leq x^2+y^2$
2단계: $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy \leq x^2+y^2+(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)$
3단계: $x^2+y^2=4$ 대입: $(x+y)^2 \leq 2 \times 4=8$
4단계: $|x+y| \leq \sqrt{8}=2\sqrt{2}$
5단계: 등호는 $x=y$, 즉 $x=y=\sqrt{2}$일 때 성립
따라서 $x+y$의 최댓값은 $2\sqrt{2}$이다.

📖 풀이:
1단계: 무리함수 $y=\sqrt{2x-4}+1$의 정의역은 근호 안이 0 이상인 $x$의 범위이다.
2단계: $2x-4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$. 따라서 정의역은 $x \geq 2$
3단계: $\sqrt{2x-4} \geq 0$이므로 $y=\sqrt{2x-4}+1 \geq 0+1=1$
4단계: 따라서 치역은 $y \geq 1$
결론: 정의역 $x \geq 2$, 치역 $y \geq 1$

📖 풀이:
단계 1) 무리함수에서는 근호 안의 식이 $0$ 이상이어야 한다. $2x-6 \geq 0$이므로 $x \geq 3$. 따라서 정의역은 $\{x \mid x \geq 3\}$.
단계 2) $\sqrt{2x-6} \geq 0$이므로 $f(x)=\sqrt{2x-6}+1 \geq 1$. 따라서 치역은 $\{y \mid y \geq 1\}$.

📖 풀이:
단계 1) 인수정리/나머지정리: $f(2)=0$, $f(-1)=6$.
단계 2) $f(2)=8+4a+2b+8=0 \Rightarrow 2a+b=-8$ ... (가)
단계 3) $f(-1)=-1+a-b+8=6 \Rightarrow a-b=-1$ ... (나)
단계 4) (가)+(나): $3a=-9$이므로 $a=-3$, (나)에서 $b=-2$.
단계 5) $ab=(-3)\times(-2)=6$.

📖 풀이:
단계 1) $z=3+2i$의 켤레복소수는 $\bar{z}=3-2i$.
단계 2) $z\bar{z}=(3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-(-4)=13$.
단계 3) 일반적으로 $z=a+bi$이면 $z\bar{z}=a^2+b^2$이며, 이는 복소수 $z$의 절댓값의 제곱과 같다.

📖 풀이:
단계 1) 이차함수의 그래프와 $x$축의 교점 개수는 이차방정식 $x^2-2x+k=0$의 판별식 $D$의 부호로 결정된다.
단계 2) 서로 다른 두 점에서 만나려면 $D>0$.
단계 3) $\frac{D}{4}=(-1)^2-1\cdot k=1-k>0$.
단계 4) 따라서 $k<1$.

📖 풀이:
단계 1) 절댓값 안의 식이 $0$이 되는 $x=1, x=4$를 기준으로 세 구간으로 나눈다.
단계 2) (i) $x<1$일 때: $-(x-1)-(x-4)=-2x+5 \leq 5 \Rightarrow x \geq 0$. 조건과 합쳐 $0 \leq x<1$.
단계 3) (ii) $1 \leq x \leq 4$일 때: $(x-1)-(x-4)=3 \leq 5$ (항상 성립). 따라서 $1 \leq x \leq 4$.
단계 4) (iii) $x>4$일 때: $(x-1)+(x-4)=2x-5 \leq 5 \Rightarrow x \leq 5$. 조건과 합쳐 $4<x \leq 5$.
단계 5) 세 구간을 합치면 $0 \leq x \leq 5$.

📖 풀이:
단계 1) $x$축으로 $a$, $y$축으로 $b$만큼 평행이동: $x \to x-a$, $y \to y-b$.
단계 2) 여기서 $a=2$, $b=-1$이므로 $x \to x-2$, $y \to y-(-1)=y+1$.
단계 3) 원 식에 대입: $2(x-2)-(y+1)+3=0$.
단계 4) 정리하면 $2x-4-y-1+3=0 \Rightarrow 2x-y-2=0$.

📖 풀이:
단계 1) 원명제 "$x^2=4 \Rightarrow x=2$"는 거짓이다. 반례: $x=-2$이면 $x^2=4$이지만 $x \neq 2$.
단계 2) 역은 가정과 결론을 바꾼 명제로 "$x=2 \Rightarrow x^2=4$". $x=2$이면 $x^2=4$가 성립하므로 참이다.
단계 3) 대우는 "$x \neq 2 \Rightarrow x^2 \neq 4$"이므로 ④는 옳지 않다.

📖 풀이:
단계 1) 합성함수 정의: $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)-3=2x-2$.
단계 2) $(g \circ f)^{-1}(5)$는 $(g \circ f)(x)=5$의 해 $x$를 구하는 것.
단계 3) $2x-2=5 \Rightarrow 2x=7 \Rightarrow x=\frac{7}{2}$.
단계 4) 따라서 $(g \circ f)^{-1}(5)=\frac{7}{2}$.

📖 풀이:
단계 1) 같은 것이 있는 순열의 공식: 전체 $n$개 중 같은 것이 각각 $p, q, r, ...$개 있을 때, 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{n!}{p!\,q!\,r!\,\cdots}$.
단계 2) 전체 $6$개, 같은 $a$가 $3$개, 같은 $b$가 $2$개, $c$가 $1$개.
단계 3) $\frac{6!}{3!\,2!\,1!}=\frac{720}{6 \times 2 \times 1}=\frac{720}{12}=60$.

📖 풀이:
단계 1) 원순열: 한 사람의 위치를 고정하면 회전 중복이 사라진다.
단계 2) 원순열의 수 공식: $(n-1)!$.
단계 3) $n=5$이므로 $(5-1)!=4!=24$.
단계 4) 일렬 순열 $5!=120$을 회전 가짓수 $5$로 나눈 것과 같다: $\frac{120}{5}=24$.

📖 풀이:
단계 1) $f(2)=5$ 조건에서 $\frac{2 \cdot 2 + a}{2-1}=\frac{4+a}{1}=4+a=5 \Rightarrow a=1$.
단계 2) $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$을 $\frac{k}{x-p}+q$ 꼴로 변형: $f(x)=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$.
단계 3) 두 점근선은 $x=1$ (수직)과 $y=2$ (수평).
단계 4) 점근선의 교점은 $(1, 2)$.

📖 풀이:
단계 1) 첫째 식 $y=x+1$을 둘째 식에 대입.
단계 2) $x^2+(x+1)^2=13 \Rightarrow x^2+x^2+2x+1=13 \Rightarrow 2x^2+2x-12=0$.
단계 3) 양변을 $2$로 나누면 $x^2+x-6=0$, 인수분해 $(x+3)(x-2)=0$.
단계 4) $x=-3$ 또는 $x=2$. 두 해의 합은 $-3+2=-1$.

📖 풀이:
단계 1) 가로 길이를 $x$ cm라 하면 둘레가 $40$이므로 세로는 $\frac{40-2x}{2}=20-x$ cm. 단, $0<x<20$.
단계 2) 넓이 $S(x)=x(20-x)=-x^2+20x$.
단계 3) 완전제곱: $S(x)=-(x^2-20x)=-(x-10)^2+100$.
단계 4) $0<x<20$ 범위에 꼭짓점 $x=10$이 포함되므로, $x=10$일 때 최댓값 $S(10)=100$.
단계 5) 즉, 가로$=$세로$=10$cm인 정사각형일 때 넓이가 최대 $100$ cm$^2$이다.

📖 풀이:
[1단계] 곱셈 공식 $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3$을 각각 적용한다.
$(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
$(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$
[2단계] 두 식을 뺀다.
$(x+2)^3 - (x-2)^3 = 12x^2 + 16$
[3단계] 따라서 $x^2$의 계수는 $12$이다.

📖 풀이:
[1단계] $z = 3+2i$의 켤레복소수는 $\overline{z} = 3 - 2i$이다.
[2단계] $z \cdot \overline{z} = (3+2i)(3-2i)$를 합차공식으로 전개하면 $3^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2$.
[3단계] $i^2 = -1$이므로 $9 - 4(-1) = 9 + 4 = 13$.

📖 풀이:
[1단계] $-2 < 0$이므로 아래 식을 적용: $f(-2) = -(-2) + 3 = 5$.
[2단계] $3 \geq 0$이므로 위 식을 적용: $f(3) = 3^2 + 1 = 10$.
[3단계] 따라서 $f(-2) + f(3) = 5 + 10 = 15$.

📖 풀이:
[1단계] 두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$를 $m:n$으로 외분하는 점의 좌표는 $\left(\dfrac{m x_2 - n x_1}{m-n}, \dfrac{m y_2 - n y_1}{m-n}\right)$이다.
[2단계] $m=1, n=2$, $A(1,3)$, $B(7,9)$ 대입.
$P_x = \dfrac{1 \cdot 7 - 2 \cdot 1}{1-2} = \dfrac{5}{-1} = -5$
$P_y = \dfrac{1 \cdot 9 - 2 \cdot 3}{1-2} = \dfrac{3}{-1} = -3$
[3단계] 따라서 $P(-5, -3)$.

📖 풀이:
[1단계] $x$축과의 교점: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0$ 이므로 $A(-1, 0), B(3, 0)$.
[2단계] 꼭짓점: $y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$ 이므로 $C(1, -4)$.
[3단계] 밑변 $\overline{AB} = 3 - (-1) = 4$, 높이는 $C$의 $y$좌표의 절댓값 $|-4| = 4$.
[4단계] 넓이 $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.

📖 풀이:
[1단계] $\omega$가 $x^2+x+1=0$의 근이므로 $\omega^2 + \omega + 1 = 0$, 즉 $1 + \omega + \omega^2 = 0$이다.
[2단계] 또한 $(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1$이므로 $\omega^3 = 1$이다.
[3단계] 공통인수 $\omega^{100}$을 묶어내면
$\omega^{100} + \omega^{101} + \omega^{102} = \omega^{100}(1 + \omega + \omega^2)$.
[4단계] $(1+\omega+\omega^2) = 0$이므로 전체 식의 값은 $0$이다.

📖 풀이:
[1단계] 좌변은 절댓값이므로 $0$ 이상이다. 따라서 우변도 $2x \geq 0$, 즉 $x \geq 0$이어야 한다.
[2단계] $x \geq 3$일 때: $x - 3 = 2x \Rightarrow x = -3$. 조건 $x \geq 3$에 맞지 않으므로 제외.
[3단계] $0 \leq x < 3$일 때: $-(x-3) = 2x \Rightarrow 3 - x = 2x \Rightarrow x = 1$. 조건 $0 \leq x < 3$ 만족.
[4단계] 따라서 해는 $x = 1$이다.

📖 풀이:
[1단계] 합성함수 정의: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
[2단계] 안쪽 함숫값 계산: $f(2) = 2^2 + 1 = 5$.
[3단계] 바깥쪽 함숫값 계산: $g(5) = 2 \cdot 5 - 3 = 7$.
[4단계] 따라서 $(g \circ f)(2) = 7$.

📖 풀이:
[1단계] 원 위의 점들은 어떤 세 점을 택해도 한 직선 위에 있지 않으므로, 세 점을 택하기만 하면 삼각형이 만들어진다.
[2단계] 따라서 $8$개 중 $3$개를 택하는 조합의 수와 같다.
[3단계] $_8C_3 = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{336}{6} = 56$.