📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
나머지정리에 의하여 $P(x)$를 $x-1$로 나눈 나머지는 $P(1)$이다.
$P(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 - 2 + 3 - 4 = -2$
따라서 나머지는 $-2$이다.

📖 풀이:
나머지정리를 이용한다.
$P(1) = 1 + a + b + 1 = 2 + a + b = 3$이므로 $a + b = 1$ ...(1)
$P(-1) = -1 + a - b + 1 = a - b = -3$ ...(2)
(1)+(2): $2a = -2$이므로 $a = -1$, $b = 2$
따라서 $a + b = 1$이다.

📖 풀이:
완전제곱식을 만드는 항을 더하고 빼는 방법(소피 제르맹 항등식)을 사용한다.
$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2$
이는 $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ 꼴이므로
$= (x^2+2-2x)(x^2+2+2x) = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$
두 인수 모두 판별식이 음수이므로 실수 범위에서는 더 이상 인수분해되지 않는다.

📖 풀이:
$i$의 거듭제곱은 $i, -1, -i, 1$이 주기 4로 반복된다.
연속된 네 항의 합은 $i + (-1) + (-i) + 1 = 0$이므로 항상 0이다.
$i^{2026} + i^{2027} + i^{2028} + i^{2029}$는 지수가 연속된 4개의 자연수이므로 합은 $0$.
(확인) $2026 = 4 \cdot 506 + 2$이므로 $i^{2026} = i^2 = -1$, $i^{2027} = -i$, $i^{2028} = 1$, $i^{2029} = i$.
합: $-1 - i + 1 + i = 0$.

📖 풀이:
분모를 실수화한다. 분모와 분자에 $1+i$를 곱하면
$z = \dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \dfrac{2i}{2} = i$
따라서 $z^{10} = i^{10} = (i^4)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

📖 풀이:
근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 3$, $\alpha\beta = 1$.
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \dfrac{3}{1} = 3$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 9 - 2 = 7$
따라서 구하는 값은 $3 + 7 = 10$이다.

📖 풀이:
$f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$로 표준형 변환한다.
꼭짓점은 $(2, 1)$이고 아래로 볼록한 포물선이다.
꼭짓점의 x좌표 2는 구간 $[0, 3]$에 포함된다.
- 최솟값: $f(2) = 1$
- 최댓값: 꼭짓점에서 더 먼 끝점에서 발생. $f(0) = 5$, $f(3) = 2$이므로 최댓값은 $f(0) = 5$
따라서 최댓값 + 최솟값 $= 5 + 1 = 6$.

📖 풀이:
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$으로 인수분해된다.
$(x-2)(x-3) \le 0$을 풀기 위해 두 근 2, 3을 기준으로 부호를 조사한다.
$y = (x-2)(x-3)$은 아래로 볼록한 포물선이고 두 x절편 사이에서 $y \le 0$이다.
따라서 해는 $2 \le x \le 3$.

📖 풀이:
각 부등식의 해를 구한 뒤 공통부분을 찾는다.
(1) $x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4) < 0$이므로 해는 $-1 < x < 4$.
(2) $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \ge 0$이므로 해는 $x \le 1$ 또는 $x \ge 4$.
두 해의 공통부분:
- $-1 < x < 4$ 와 $x \le 1$의 교집합: $-1 < x \le 1$
- $-1 < x < 4$ 와 $x \ge 4$의 교집합: 없음
따라서 연립부등식의 해는 $-1 < x \le 1$이다.

📖 풀이:
방법 1 (근과 계수의 관계):
삼차방정식 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$의 세 근 $\alpha, \beta, \gamma$에 대해
$\alpha + \beta + \gamma = 6$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 11$, $\alpha\beta\gamma = 6$
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$
$= 6^2 - 2 \cdot 11 = 36 - 22 = 14$

방법 2 (직접 인수분해):
$x = 1$을 대입하면 $1 - 6 + 11 - 6 = 0$이므로 $(x-1)$이 인수.
조립제법으로 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$
세 근은 1, 2, 3. $1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.

📖 풀이:
절댓값의 정의에 따라 $|A| = k$ (단, $k \ge 0$)는 $A = k$ 또는 $A = -k$와 같다.
$x - 3 = 5$ 또는 $x - 3 = -5$
$x = 8$ 또는 $x = -2$.
수직선에서 해석하면 '점 3으로부터 거리가 5인 점'은 $3+5=8$과 $3-5=-2$이다.

📖 풀이:
원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건은 '(원의 중심과 직선 사이 거리) < (반지름)'이다.
직선 $y = x + k$를 일반형으로 쓰면 $x - y + k = 0$.
원의 중심 $(0, 0)$에서 이 직선까지의 거리: $d = \dfrac{|0 - 0 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|k|}{\sqrt{2}}$
반지름은 $r = \sqrt{10}$.
조건 $d < r$에서 $\dfrac{|k|}{\sqrt{2}} < \sqrt{10}$, 즉 $|k| < \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
따라서 $-2\sqrt{5} < k < 2\sqrt{5}$.

📖 풀이:
먼저 $A \cap B$를 구한다. $A$와 $B$에 공통으로 속하는 원소는 2와 4.
따라서 $A \cap B = \{2, 4\}$.
여집합은 전체집합에서 $A \cap B$의 원소를 뺀 집합이다.
$(A \cap B)^c = U - (A \cap B) = \{1, 3, 5, 6, 7, 8\}$
원소의 개수는 $8 - 2 = 6$개.

📖 풀이:
'적어도 1명' 유형은 여사건을 이용하는 것이 편리하다.
(남학생이 적어도 1명) = (전체 경우) - (남학생이 0명인 경우)
- 전체 9명 중 3명을 뽑는 경우: $_9C_3 = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$
- 남학생이 0명, 즉 여학생만 3명 뽑는 경우: $_4C_3 = 4$
따라서 구하는 경우의 수는 $84 - 4 = 80$.

📖 풀이:
1단계: $g(2)=2^2+1=5$
2단계: $(f \circ g)(2)=f(g(2))=f(5)=2 \times 5-3=7$
따라서 답은 7이다.

📖 풀이:
1단계: 두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$의 중점은 $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$이다.
2단계: $x$좌표: $\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$
3단계: $y$좌표: $\frac{2+(-4)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
따라서 중점은 $(2, -1)$이다.

📖 풀이:
1단계: $A-B$는 $A$의 원소 중 $B$에 속하지 않는 원소들의 집합이다.
2단계: $A=\{1, 2, 3, 4\}$에서 $B=\{3, 4, 5\}$의 원소인 $3, 4$를 제외한다.
3단계: $A-B=\{1, 2\}$
따라서 답은 $\{1, 2\}$이다.

📖 풀이:
1단계: 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하여 나열하는 순열의 수는 $_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}$이다.
2단계: $_5P_3=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60$
또는 $_5P_3=5 \times 4 \times 3=60$
따라서 답은 60이다.

📖 풀이:
1단계: $y=3x+a$에서 $x$에 대해 풀면 $x=\frac{y-a}{3}=\frac{1}{3}y-\frac{a}{3}$
2단계: $x$와 $y$를 바꾸면 역함수는 $f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x-\frac{a}{3}$
3단계: 주어진 역함수 $f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+2$와 비교하면 $-\frac{a}{3}=2$
4단계: $a=-6$
따라서 답은 $-6$이다.

📖 풀이:
1단계: 두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$를 $m:n$으로 내분하는 점은 $\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$이다.
2단계: $m=2, n=1$, $A(1,3)$, $B(7,-3)$ 대입
3단계: $x$좌표: $\frac{2 \times 7+1 \times 1}{2+1}=\frac{15}{3}=5$
4단계: $y$좌표: $\frac{2 \times (-3)+1 \times 3}{2+1}=\frac{-3}{3}=-1$
따라서 내분점은 $(5, -1)$이다.

📖 풀이:
1단계: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ 공식 활용
2단계: $a=x, b=2y, c=-1$ 대입
3단계: $xy$ 항은 $2ab=2 \times x \times 2y=4xy$에서 나온다.
4단계: 따라서 $xy$의 계수는 $4$이다.

📖 풀이:
1단계: 명제 "$p \Rightarrow q$"의 대우는 "$\sim q \Rightarrow \sim p$"이다.
2단계: 원명제: $p$: $x>2$, $q$: $x>1$
3단계: 부정: $\sim p$: $x \leq 2$, $\sim q$: $x \leq 1$
4단계: 대우: $\sim q \Rightarrow \sim p$, 즉 "$x \leq 1$이면 $x \leq 2$이다."
따라서 답은 ②이다.

📖 풀이:
1단계: $(x-1)(x-2)$로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 $R(x)=ax+b$로 놓는다.
2단계: $P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b$
3단계: $P(1)=a+b=3$ ··· ㉠
4단계: $P(2)=2a+b=5$ ··· ㉡
5단계: ㉡-㉠: $a=2$, ㉠에 대입: $b=1$
따라서 $R(x)=2x+1$이다.

📖 풀이:
1단계: 유리함수를 $y=\frac{k}{x-p}+q$ 꼴로 변형한다.
2단계: $\frac{2x+5}{x+1}=\frac{2(x+1)+3}{x+1}=\frac{3}{x+1}+2$
3단계: 따라서 $y=\frac{3}{x-(-1)}+2$이고, 점근선은 $x=-1$, $y=2$이다.
4단계: 두 점근선의 교점은 $(-1, 2)$이다.

📖 풀이:
1단계: 중심이 직선 $y=x$ 위에 있으므로 중심은 $(a, a)$로 놓는다.
2단계: 원의 방정식: $(x-a)^2+(y-a)^2=r^2$
3단계: $A(0,2)$ 대입: $a^2+(2-a)^2=r^2$, 즉 $2a^2-4a+4=r^2$ ··· ㉠
4단계: $B(4,0)$ 대입: $(4-a)^2+a^2=r^2$, 즉 $2a^2-8a+16=r^2$ ··· ㉡
5단계: ㉠=㉡: $-4a+4=-8a+16$, $4a=12$, $a=3$
6단계: $r^2=2(9)-4(3)+4=18-12+4=10$
따라서 원의 방정식은 $(x-3)^2+(y-3)^2=10$이다.