🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
$72 = 2^3 \times 3^2$로 소인수분해된다. 약수의 개수는 각 지수에 $1$을 더해 곱하므로 $(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$개이다.

📖 풀이:
등차수열의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$이다. 따라서 $a_{10} = 5 + (10-1)\times 4 = 5 + 36 = 41$이다.

📖 풀이:
$1$부터 $20$까지 중 $4$의 배수는 $4, 8, 12, 16, 20$으로 $5$개이다. 따라서 확률은 $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$이다.

📖 풀이:
$3$의 거듭제곱의 일의 자리는 $3^1=3,\ 3^2=9,\ 3^3=27(7),\ 3^4=81(1)$로 $3, 9, 7, 1$이 주기 $4$로 반복된다. $100 = 4 \times 25$이므로 $100$은 $4$의 배수, 즉 주기의 마지막인 $3^4$과 같은 위치이다. 따라서 일의 자리는 $1$이다.

📖 풀이:
순서를 따지지 않고 뽑으므로 조합이다. $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$가지이다.

📖 풀이:
$2$의 배수는 $50$개, $3$의 배수는 $\lfloor 100/3 \rfloor = 33$개, $6$의 배수(둘 다인 수)는 $\lfloor 100/6 \rfloor = 16$개이다. 중복으로 센 $6$의 배수를 한 번 빼면 $50 + 33 - 16 = 67$개이다.

📖 풀이:
상대에게 돌 $1$개만 남기면 상대는 그 $1$개를 가져갈 수밖에 없어 마지막 돌을 가져가 진다. 즉 남은 돌이 $1$이 되도록 몰아가면 이긴다. 패배 위치는 남은 돌을 $3$으로 나눈 나머지가 $1$인 경우다. $15 \equiv 0 \pmod 3$이므로 선공이 먼저 $2$개를 가져가 $13$개($13 \equiv 1 \pmod 3$)를 만들고, 이후 상대가 $k$개 가져갈 때마다 $3-k$개를 가져가 나머지 $1$ 상태를 유지하면 결국 상대에게 $1$개를 남겨 이긴다.

📖 풀이:
각 항은 앞의 두 항의 합이다. $a_3 = 1+1 = 2$, $a_4 = 1+2 = 3$, $a_5 = 2+3 = 5$, $a_6 = 3+5 = 8$, $a_7 = 5+8 = 13$이다.

📖 풀이:
같은 호에 대한 원주각은 중심각의 절반이다. 따라서 원주각 $= \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$이다.

📖 풀이:
'적어도 한 번 앞면'의 여사건은 '$4$번 모두 뒷면'이다. 모두 뒷면일 확률은 $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$이므로, 구하는 확률은 $1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$이다.

📖 풀이:
달은 $12$개뿐인데 사람은 $13$명이다. 비둘기집 원리에 의해 $12$개의 '서랍(달)'에 $13$명을 넣으면 적어도 한 달에는 $2$명 이상이 들어간다. 따라서 같은 달에 태어난 사람이 반드시 존재한다.

📖 풀이:
$\{1,2\}, \{3,4\}, \dots, \{99,100\}$처럼 연속한 두 수끼리 $50$개의 쌍(서랍)으로 묶는다. $51$개를 고르면 비둘기집 원리에 의해 적어도 한 쌍에서 두 수가 모두 선택되고, 그 두 수는 차가 $1$이다. 참고로 $50$개일 때는 홀수만 모두 고르면 연속한 두 수가 없으므로 $51$개여야 보장된다.

📖 풀이:
님 게임의 승패는 각 무더기 크기를 이진수로 나타내 자리별 XOR(이진합)로 판단한다. $1 = 01_2$, $2 = 10_2$, $3 = 11_2$이고 $01 \oplus 10 \oplus 11 = 00_2 = 0$이다. 모든 자리의 XOR이 $0$인 상태는 '다음에 두는 사람이 지는 위치'이다. 현재 선공이 이 위치에서 시작하므로, 후공이 매번 XOR을 다시 $0$으로 되돌리며 결국 이긴다.

📖 풀이:
$9$개를 $3$개씩 세 그룹 $A, B, C$로 나눈다. (1) $A$와 $B$를 저울에 올린다. 평형이면 가벼운 동전은 $C$에, 한쪽이 가벼우면 그 그룹에 있다. 어느 경우든 가벼운 동전이 든 $3$개짜리 그룹을 알아낸다. (2) 그 $3$개 중 두 개를 저울에 올린다. 평형이면 남은 하나가, 한쪽이 가벼우면 그쪽이 가벼운 동전이다. 따라서 $2$번이면 충분하다.

📖 풀이:
두 점 사이의 거리 공식은 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 이다. 대입하면 $\sqrt{(5-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. 이는 직각을 낀 두 변이 $3,4$인 직각삼각형의 빗변(피타고라스 $3$-$4$-$5$)과 같다.

📖 풀이:
$3\times 3=9$ 는 참인 문장이다. 거짓말쟁이는 절대 참말을 하지 않으므로, 참인 문장을 말한 $A$는 거짓말쟁이일 수 없다. 따라서 $A$는 기사이다. 핵심은 '발언 내용의 참·거짓'을 먼저 판단한 뒤 화자의 종류를 정하는 것이다.

📖 풀이:
합집합의 크기는 포함배제로 $|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 18 + 12 - 5 = 25$. 따라서 적어도 한 종목을 좋아하는 학생은 $25$명이다. (참고: 둘 다 좋아하지 않는 학생은 $30-25=5$명.)

📖 풀이:
$7$의 거듭제곱의 일의 자리는 $7^1=7,\ 7^2=49,\ 7^3=343,\ 7^4=2401$ 에서 $7,9,3,1$ 이 주기 $4$로 반복된다. $2024 = 4\times 506$ 이므로 $2024 \equiv 0 \pmod 4$, 즉 주기의 $4$번째(마지막)에 해당해 일의 자리는 $1$ 이다.

📖 풀이:
소인수분해하면 $84 = 2^2\times 3\times 7$, $120 = 2^3\times 3\times 5$ 이다. 공통 소인수의 가장 작은 지수를 택하면 $2^2\times 3 = 12$. 따라서 최대공약수는 $12$ 이다.

📖 풀이:
등비수열의 일반항은 $a_n = a_1\times r^{\,n-1}$ 이다. $a_6 = 3\times 2^{5} = 3\times 32 = 96$. 수열을 직접 써 보면 $3,6,12,24,48,96$ 이다.

📖 풀이:
밑변 $AB$는 x축 위에 있어 길이가 $6$, 점 $C$의 $y$좌표가 곧 높이이므로 높이는 $5$ 이다. 넓이 $=\dfrac{1}{2}\times 6\times 5 = 15$. 신발끈 공식으로도 $\dfrac{1}{2}|0(0-5)+6(5-0)+2(0-0)| = \dfrac{1}{2}\times 30 = 15$.

📖 풀이:
$A$가 기사라고 가정하면 그 말이 참이라 $B$는 거짓말쟁이. 그러면 $B$의 "같은 종류다"는 거짓이어야 하는데 실제로 둘은 다른 종류이므로 거짓이 맞아 모순이 없다. 반대로 $A$가 거짓말쟁이라면 "$B$는 거짓말쟁이"가 거짓이라 $B$는 기사가 되고, $B$의 참말 "같은 종류"가 성립해야 하지만 둘은 다른 종류라 모순. 따라서 $A$ 기사, $B$ 거짓말쟁이.

📖 풀이:
포함배제로 적어도 한 과목을 좋아하는 학생 수 $=22+18+15-9-7-6+3 = 36$. 전체가 $40$명이므로 한 과목도 좋아하지 않는 학생은 $40-36 = 4$명이다.

📖 풀이:
요일은 $7$일마다 반복되므로 $\bmod 7$ 로 계산한다. $100 = 7\times 14 + 2$ 이므로 $100 \equiv 2 \pmod 7$. 따라서 화요일에서 $2$일 뒤인 목요일이다.

📖 풀이:
평행사변형은 두 대각선 $AC$와 $BD$가 서로의 중점에서 만난다. $AC$의 중점 $=\left(\dfrac{1+5}{2},\dfrac{1+5}{2}\right)=(3,3)$. 이것이 $BD$의 중점이어야 하므로 $\dfrac{4+x}{2}=3,\ \dfrac{2+y}{2}=3$ 에서 $x=2,\ y=4$. 따라서 $D(2,4)$. (벡터로는 $D = A + C - B = (1+5-4,\ 1+5-2)=(2,4)$.)