🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
$A$가 "우리 모두 거짓말쟁이"라고 말했는데, 기사라면 자신을 거짓말쟁이라 할 수 없으니 $A$는 거짓말쟁이다. 그 말이 거짓이므로 셋 중 적어도 한 명은 기사다. 이제 $B,C$를 보자. 만약 $B$가 거짓말쟁이면 "$C$는 기사"가 거짓이라 $C$도 거짓말쟁이, 그러면 $C$의 "$B$는 기사"도 거짓이 되어 셋이 모두 거짓말쟁이 - 이는 $A$의 말을 참으로 만들어 모순이다. 따라서 $B$는 기사이고, 그 참말로 $C$도 기사. 결론: $A$ 거짓말쟁이, $B$·$C$ 기사.

📖 풀이:
님 게임의 승패는 각 무더기 크기를 이진수로 쓴 뒤 모두 XOR(자리별 합의 홀짝)한 '님 합'으로 정해진다. $3\oplus5\oplus7 = 011\oplus101\oplus111 = 001 \ne 0$ 이므로 선공이 이긴다. 이기려면 님 합을 $0$으로 만들어야 하는데, $3$무더기를 $3\oplus001 = 2$로 줄이면 $(2,5,7)$ 이 되고 $010\oplus101\oplus111 = 000$. 이후 상대가 무엇을 하든 다시 님 합을 $0$으로 되돌리면 선공이 마지막 돌을 가져간다.

📖 풀이:
$y = \dfrac{100-7x}{5} \ge 0$ 이 정수여야 한다. $100-7x \equiv 0 \pmod 5$ 에서 $100\equiv0$ 이므로 $7x\equiv0$, 즉 $2x\equiv0\pmod5$ → $x\equiv0\pmod5$. 또 $7x\le100$ 이라 $x\le14$. 조건을 만족하는 $x$는 $0,5,10$ 세 개이고, 각각 $y=20,\ 13,\ 6$. 따라서 정수해는 $(0,20),(5,13),(10,6)$ 의 $3$쌍.

📖 풀이:
$1$부터 $100$을 연속한 두 수씩 묶으면 $\{1,2\},\{3,4\},\dots,\{99,100\}$ 으로 $50$개의 묶음(서랍)이 된다. 각 묶음에서 한 개씩만 고르면 연속한 두 수 없이 최대 $50$개까지 뽑을 수 있다. 그러나 $51$개를 뽑으면 비둘기집 원리에 의해 어떤 한 묶음에서 두 수를 모두 뽑게 되고, 그 두 수는 연속한다. 따라서 최소 $51$개.

📖 풀이:
$200$을 $7$로 반복해 나눈다: $200 = 7\times 28 + 4$ (나머지 $4$), $28 = 7\times 4 + 0$ (나머지 $0$), $4 = 7\times 0 + 4$ (나머지 $4$). 나머지를 아래에서 위로 읽으면 $404$. 검산: $4\times 7^2 + 0\times 7 + 4 = 4\times 49 + 4 = 196 + 4 = 200$. 따라서 $404_{(7)}$.

📖 풀이:
주어진 조건은 한 변 $BC=EF$와 그 변의 양 끝에 있는 두 각 $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$ 가 각각 같다는 것이다. '한 변과 그 양 끝각'이 같으므로 ASA(각-변-각) 합동이다.

📖 풀이:
오른쪽 이동(R) 2번, 위쪽 이동(U) 2번, 총 4번의 이동을 배열하는 문제이다. 4칸 중 R가 들어갈 2자리를 고르면 되므로 $\binom{4}{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ 가지.

📖 풀이:
각 자리의 자리값은 $2^3, 2^2, 2^1, 2^0$ 이다. $1011_{(2)} = 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$.

📖 풀이:
서로 다른 3종류에서 중복을 허용해 5개를 고르는 중복조합이다. $_3H_5 = \binom{3+5-1}{5} = \binom{7}{5} = \binom{7}{2} = \dfrac{7\cdot 6}{2} = 21$ 가지.

📖 풀이:
$1$부터 $10$까지의 소수는 $2, 3, 5, 7$ 로 $4$개이다(1은 소수가 아님). 전체는 $10$가지이므로 확률은 $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.

📖 풀이:
$f(x)=x$ 이므로 $3x - 4 = x$. 정리하면 $2x = 4$, 따라서 $x = 2$. 즉 $f(2)=3\cdot 2-4=2$ 로 자기 자신으로 돌아온다.

📖 풀이:
$A - B$ 는 $A$ 의 원소 중 $B$ 에 속하지 않는 것이다. $A$ 에서 공통 원소 $2, 4$ 를 빼면 $\{1, 3, 5\}$ 가 남으므로 원소는 $3$개.

📖 풀이:
평균 $= \dfrac{3+5+5+7+10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$. 자료를 크기순으로 놓으면 가운데 값(중앙값) $= 5$. 가장 자주 나온 값(최빈값) $= 5$. 따라서 평균 $6$ 이 가장 크다.

📖 풀이:
두 집합의 합집합은 전체 $30$명을 넘을 수 없다. $|A \cup B| = 20 + 18 - |A \cap B| \le 30$ 에서 $38 - |A\cap B| \le 30$, 즉 $|A\cap B| \ge 8$. 따라서 두 과목을 모두 좋아하는 학생 수의 최솟값은 $8$명.

📖 풀이:
피타고라스 정리에 의해 빗변 $c$ 는 $c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. 따라서 $c = \sqrt{169} = 13$.

📖 풀이:
짝수를 아무리 더해도 합의 홀짝에는 영향을 주지 않고, 합의 홀짝은 홀수의 개수에 의해서만 정해진다. 홀수를 짝수 번 더하면 합이 짝수, 홀수 번 더하면 합이 홀수가 된다. 합이 홀수이므로 홀수인 정수는 홀수개($1, 3, 5$개 중 하나)이다.

📖 풀이:
합성함수 $(f\circ g)(x) = f(g(x)) = f(x-3) = 2(x-3) + 1 = 2x - 5$. 이것이 $7$이므로 $2x - 5 = 7$, $2x = 12$, $x = 6$. (확인: $g(6)=3$, $f(3)=7$.)

📖 풀이:
마지막 돌을 가져가면 지므로, 상대에게 '돌 $1$개'를 남기면 이긴다. 지는 위치(자기 차례에 지는 위치)는 남은 돌이 $1, 5, 9, \dots$ 즉 $4$로 나눈 나머지가 $1$인 경우이다. $21 = 4\times 5 + 1$ 이므로 시작 시점이 바로 지는 위치이다. 따라서 \textbf{먼저 두는 선공이 지고, 후공이 필승}이다. 후공은 매번 합이 $4$가 되도록 가져가($1{+}3, 2{+}2, 3{+}1$) 선공에게 항상 $4k+1$ 개를 남기면 된다.

📖 풀이:
7의 거듭제곱의 일의 자리는 $7,9,3,1$ 의 4개 주기로 반복된다. 지수 2023을 4로 나눈 나머지를 구하면 $2023 = 4\times 505 + 3$ 이므로 나머지는 3이다. 따라서 주기의 세 번째 값인 3이 일의 자리가 된다.

📖 풀이:
먼저 안쪽을 계산한다. $f(3)=2\times 3+1=7$. 그 결과를 다시 $f$ 에 넣으면 $f(7)=2\times 7+1=15$. 합성함수는 안에서 밖으로 차례로 계산한다.

📖 풀이:
두 점 사이 거리 공식 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 를 쓴다. 가로 차이는 $4-1=3$, 세로 차이는 $6-2=4$ 이므로 거리는 $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

📖 풀이:
이 게임의 핵심은 남은 돌 수를 4의 배수로 만들어 상대에게 넘기는 것이다. 상대가 $k(=1,2,3)$ 개를 가져가면 나는 $4-k$ 개를 가져가 항상 4개씩 줄일 수 있다. 시작이 $12$(4의 배수)이면 후공이 이 전략으로 매 라운드 4개씩 줄여 마지막 돌을 가져간다. 일반적으로 처음 개수가 4의 배수면 후공 필승, 아니면 선공 필승.

📖 풀이:
두 수 $a,b$ 에 대하여 항상 $(\gcd) \times (\text{lcm}) = a\times b$ 가 성립한다. 따라서 $\text{lcm} = \dfrac{a\times b}{\gcd} = \dfrac{360}{6} = 60$.

📖 풀이:
$45$ 를 2로 계속 나누며 나머지를 적는다: $45\div2=22\cdots1,\ 22\div2=11\cdots0,\ 11\div2=5\cdots1,\ 5\div2=2\cdots1,\ 2\div2=1\cdots0,\ 1\div2=0\cdots1$. 나머지를 아래에서 위로 읽으면 $101101_2$. 검산: $32+8+4+1=45$.

📖 풀이:
평균은 $\dfrac{2+4+7+7+10}{5}=\dfrac{30}{5}=6$. 자료가 이미 크기순이므로 중앙값(가운데 값)은 $7$. 최빈값(가장 자주 나온 값)은 두 번 나온 $7$. 따라서 $6,7,7$ 중 가장 큰 값은 $7$.