🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
$y = \dfrac{24 - 3x}{2}$ 가 양의 정수가 되어야 한다. $24 - 3x$ 가 양수이면서 짝수여야 하므로 $x$ 는 짝수이고 $x < 8$. 따라서 $x=2 \Rightarrow y=9$, $x=4 \Rightarrow y=6$, $x=6 \Rightarrow y=3$ 의 $3$ 개이다. ($x=8$ 이면 $y=0$ 이라 자연수가 아니다.)

📖 풀이:
마지막 돌을 가져가면 지므로, 상대에게 '돌 $1$ 개'만 남겨 강제로 마지막을 집게 하는 것이 목표다. 안전한 상태는 남은 돌이 $4k+1$ 꼴(즉 $1,5,9,13,\dots$)이 되어 상대 차례가 오는 경우다. $15$ 에서 $2$ 개를 가져가면 $13$ 이 남아 상대가 어떤 수($1$~$3$)를 가져가도 다시 $4k+1$ 로 되돌릴 수 있다. 따라서 처음에 $2$ 개를 가져가면 선공이 이긴다.

📖 풀이:
두 점 사이의 거리는 $\sqrt{(10-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ 이다.

📖 풀이:
순서를 구분하지 않으므로 조합이다. $_5C_2 = \dfrac{5\times 4}{2\times 1} = \dfrac{20}{2} = 10$ 가지이다.

📖 풀이:
A가 정직하다고 가정하면 B는 거짓말쟁이가 된다. 그러면 B의 말 'A와 C는 같은 종류'는 거짓이므로 A와 C는 다른 종류 → C는 거짓말쟁이. 그런데 C의 말 'A는 정직하다'가 거짓이 되어 A가 거짓말쟁이가 되니 가정과 모순이다. 따라서 A는 거짓말쟁이. 그러면 A의 말이 거짓이므로 B는 정직하다. B의 말에 따라 A와 C는 같은 종류 → C도 거짓말쟁이. C의 말 'A는 정직하다'는 거짓이고 실제로 A가 거짓말쟁이이므로 모순이 없다. 즉 정직한 사람은 B뿐이다.

📖 풀이:
첫째항 $a_1 = 2$, 공비 $r = 3$ 인 등비수열이다. 제$5$항은 $a_5 = 2 \times 3^{4} = 2 \times 81 = 162$ 이다. (또는 $54 \times 3 = 162$.)

📖 풀이:
$2$ 의 거듭제곱을 $7$ 로 나눈 나머지를 보면 $2^1\equiv 2,\ 2^2\equiv 4,\ 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$ 로, $3$ 을 주기로 $2,4,1$ 이 반복된다. $2026 = 3\times 675 + 1$ 이므로 $2026 \equiv 1 \pmod 3$. 따라서 $2^{2026} \equiv 2^{1} \equiv 2 \pmod 7$ 이다.

📖 풀이:
$f(f(x)) = f(2x-1) = 2(2x-1) - 1 = 4x - 3$ 이다. 이것이 $9$ 와 같으므로 $4x - 3 = 9$, $4x = 12$, $x = 3$ 이다. 검산: $f(3)=5$, $f(5)=9$ 로 맞다.

📖 풀이:
두 주사위의 모든 경우는 $6\times 6 = 36$ 가지다. 두 눈의 합으로 가능한 소수는 $2,3,5,7,11$ 이다. 각 합이 나오는 경우의 수는 합 $2{:}1$, 합 $3{:}2$, 합 $5{:}4$, 합 $7{:}6$, 합 $11{:}2$ 로 총 $1+2+4+6+2 = 15$ 가지. 따라서 확률은 $\dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}$ 이다.

📖 풀이:
7의 거듭제곱의 일의 자리는 $7^1=7,\ 7^2=49\to9,\ 7^3\to3,\ 7^4\to1$ 로 $(7,9,3,1)$ 이 주기 4로 반복된다. $2024 = 4\times506$ 이므로 $2024 \equiv 0 \pmod 4$, 즉 주기의 네 번째 위치에 해당한다. 따라서 일의 자리는 $1$.

📖 풀이:
달(서랍)은 12개뿐이다. 12명까지는 모두 서로 다른 달일 수 있다(1월부터 12월까지 한 명씩). 그러나 한 명을 더해 13명이 되면 어떤 달에는 반드시 2명 이상이 배정되므로(비둘기집 원리: $13 > 12$), 같은 달 생일인 두 사람이 존재한다. 따라서 최소 13명.

📖 풀이:
적어도 하나를 좋아하는 사람 수는 모든 영역의 합이다: $8+5+4+3+2+1+2 = 25$. 전체가 30명이므로 아무것도 좋아하지 않는 사람은 $30 - 25 = 5$명.

📖 풀이:
두 무더기 개수를 같게 만들면(여기서는 둘 다 5개) 이후 상대가 어느 무더기에서 몇 개를 가져가든, 다른 무더기에서 똑같이 가져가 다시 같게 맞출 수 있다(대칭 따라하기 전략). 결국 상대가 먼저 무더기를 비우게 되어 마지막 돌은 항상 내가 가져간다. 따라서 8개에서 3개를 가져가 $5,5$로 만든다.

📖 풀이:
두 수의 곱은 (최대공약수)×(최소공배수)와 같다: $18 \times x = 6 \times 90 = 540$. 따라서 $x = 540 \div 18 = 30$. 확인: $\gcd(18,30)=6,\ \mathrm{lcm}(18,30)=90$ 으로 조건을 만족한다.

📖 풀이:
$30 - 3x$ 가 $5$의 배수이고 $0$ 이상이어야 한다. $3x \equiv 0 \pmod 5$ 에서 $x$는 $5$의 배수. $x=0\Rightarrow y=6$, $x=5\Rightarrow y=3$, $x=10\Rightarrow y=0$. $x=15$이면 $3\cdot15=45>30$ 이므로 불가. 따라서 $(0,6),(5,3),(10,0)$ 의 3개.

📖 풀이:
A가 기사라고 가정하면 그의 말이 참이므로 B도 기사이다. 그러면 B의 말 '서로 다른 부류'가 참이어야 하지만 둘 다 기사라 같은 부류이므로 모순. 따라서 A는 거짓말쟁이. A의 말 'B는 기사'는 거짓이므로 B도 거짓말쟁이. 이때 B의 말 '서로 다른 부류'도 거짓이어야 하는데, 실제로 둘 다 거짓말쟁이라 같은 부류이므로 거짓이 맞다. 모순이 없다. 따라서 둘 다 거짓말쟁이.

📖 풀이:
차례로 계산한다: $a_1=2$, $a_2=2\cdot2+1=5$, $a_3=2\cdot5+1=11$, $a_4=2\cdot11+1=23$, $a_5=2\cdot23+1=47$.

📖 풀이:
닮은 도형에서 넓이의 비는 닮음비의 제곱과 같다. 닮음비가 $2:3$ 이면 넓이의 비는 $2^2 : 3^2 = 4 : 9$. 작은 넓이가 $12$이므로 $12 : S = 4 : 9$, 즉 $S = 12 \times \dfrac{9}{4} = 27$.

📖 풀이:
전체 $7$개 중 $2$개를 꺼내는 경우의 수는 $\binom{7}{2} = 21$. 빨간 공 $4$개 중 $2$개를 꺼내는 경우의 수는 $\binom{4}{2} = 6$. 따라서 확률은 $\dfrac{6}{21} = \dfrac{2}{7}$.

📖 풀이:
수들을 $\{1,2\},\{3,4\},\dots,\{99,100\}$ 처럼 연속한 두 수씩 묶으면 서랍(짝)이 $50$개 생긴다. $50$개를 고를 때는 각 짝에서 하나씩만 골라 연속한 두 수를 피할 수 있다(예: 홀수만). 그러나 $51$개를 고르면 비둘기집 원리에 의해 어떤 짝에서 두 수를 모두 고르게 되고, 그 두 수는 차가 $1$이다. 따라서 최소 $51$개.

📖 풀이:
안쪽부터 계산한다. $f(2) = 2\cdot2 + 1 = 5$. 그 결과를 다시 넣으면 $f(5) = 2\cdot5 + 1 = 11$. 따라서 $f(f(2)) = 11$.

📖 풀이:
도미노 하나는 항상 인접한 흰 칸 1개와 검은 칸 1개를 덮는다. 그런데 마주 보는 두 모서리 칸은 같은 색이다(체스판에서 대각으로 마주 보는 두 모서리는 색이 같다). 따라서 그 두 칸을 제거하면 한 색이 $32$개, 다른 색이 $30$개로 색의 개수가 어긋난다. 도미노 $31$개로 덮으려면 두 색이 각각 $31$개여야 하므로 불가능하다(홀짝/색칠 논증).

📖 풀이:
$12$시간마다 시계는 같은 위치로 돌아온다. $100$을 $12$로 나누면 $100 = 12 \times 8 + 4$이므로 나머지는 $4$. 즉 $100$시간 후는 $4$시간 후와 같다. $9 + 4 = 13$이고 $13 - 12 = 1$이므로 $1$시이다.

📖 풀이:
김밥을 고르는 $3$가지 경우 각각에 대해 음료를 고르는 $2$가지가 있으므로, 곱의 법칙에 의해 $3 \times 2 = 6$가지이다.

📖 풀이:
적어도 하나를 좋아하는 학생 수는 포함배제에 의해 $18 + 15 - 8 = 25$명이다. 따라서 둘 다 좋아하지 않는 학생은 $30 - 25 = 5$명이다.