🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
요일은 $7$일을 주기로 반복되므로 $30$을 $7$로 나눈 나머지만 보면 된다. $30 = 7 \times 4 + 2$ 이므로 $30 \equiv 2 \pmod 7$. 월요일에서 $2$일 뒤이므로 월$\to$화$\to$수, 즉 수요일이다.

📖 풀이:
각 자리는 오른쪽부터 $2^0,2^1,2^2,2^3$ 의 자리값을 가진다. $1101_{(2)} = 1\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$.

📖 풀이:
달은 $1$월부터 $12$월까지 $12$개의 '서랍'이다. $12$명까지는 모두 다른 달일 수 있지만($1$월~$12$월 한 명씩), $13$번째 사람은 어느 달에 넣어도 이미 누군가 있는 달과 겹친다. 따라서 $12+1=13$명이면 같은 달 생일이 반드시 생긴다.

📖 풀이:
중앙값은 자료를 크기순으로 줄세웠을 때 한가운데 값이다. 작은 순서로 $2,3,7,7,11$ 로 이미 정렬되어 있고 자료가 $5$개이므로 $3$번째 값이 중앙값이다. 따라서 중앙값은 $7$. (참고로 평균은 $\frac{30}{5}=6$, 최빈값도 $7$이다.)

📖 풀이:
한 번에 $1$ 또는 $2$개를 가져가는 게임에서, 상대에게 $3$의 배수를 남기면 항상 이긴다. 상대가 $1$개 가져가면 나는 $2$개, 상대가 $2$개 가져가면 나는 $1$개를 가져가 다시 $3$의 배수를 남길 수 있기 때문이다. $10 = 3\times3 + 1$ 이므로 먼저 $1$개를 가져가 $9$($=3\times3$)개를 남기면 필승이다.

📖 풀이:
'적어도 한 번 앞면'의 여사건은 '세 번 모두 뒷면'이다. 모두 뒷면일 확률은 $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$. 따라서 구하는 확률은 $1 - \frac18 = \frac78$.

📖 풀이:
A가 정직하다고 가정하면 B와 C는 같은 종류여야 한다. 그런데 B의 말 'A는 거짓말쟁이'는 거짓이 되어 B는 거짓말쟁이, C의 말 'A는 정직'은 참이 되어 C는 정직 - 둘이 다른 종류가 되어 모순. 따라서 A는 거짓말쟁이. 그러면 A의 말 'B와 C는 같은 종류'는 거짓 $\Rightarrow$ B와 C는 다른 종류. B의 말 'A는 거짓말쟁이'는 참이므로 B는 정직, C의 말 'A는 정직'은 거짓이므로 C는 거짓말쟁이. 모순 없음. 정직한 사람은 B만이다.

📖 풀이:
$x = \dfrac{30 - 5y}{3}$ 가 음이 아닌 정수가 되어야 한다. $30 - 5y \ge 0$ 에서 $y \le 6$. 또 $30 - 5y$ 가 $3$의 배수여야 하는데 $30 \equiv 0,\ 5y \equiv 2y \pmod 3$ 이므로 $2y \equiv 0$, 즉 $y$는 $3$의 배수. $y = 0,\,3,\,6$ 일 때 $x = 10,\,5,\,0$. 따라서 해는 $(10,0),(5,3),(0,6)$ 으로 $3$개.

📖 풀이:
한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 절반이다. 따라서 원주각 $= \dfrac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$.

📖 풀이:
$|2x-3| < 5 \iff -5 < 2x - 3 < 5$. 각 변에 $3$을 더하면 $-2 < 2x < 8$, $2$로 나누면 $-1 < x < 4$. 이 범위의 정수는 $x = 0,\,1,\,2,\,3$ 으로 모두 $4$개.

📖 풀이:
$x \equiv 3 \pmod 7$ 인 수는 $3,\,10,\,17,\,24,\,31,\dots$ 이다. 이 중 $5$로 나눈 나머지가 $2$인 것을 찾으면, $3\to3,\ 10\to0,\ 17\to2$ 이므로 $17$이 조건을 모두 만족하는 가장 작은 수이다. ($17 = 7\times2+3,\ 17 = 5\times3+2$.)

📖 풀이:
같은 사탕 $3$개를 세 사람에게 나누는 것은, 사탕 $3$개와 칸막이 $2$개(세 칸으로 나눔)를 일렬로 놓는 방법과 같다. 전체 $5$자리 중 칸막이 $2$자리를 고르면 되므로 $\binom{5}{2} = 10$ 가지. 이것이 중복조합 $_3\mathrm{H}_3 = {}_{5}\mathrm{C}_3 = 10$ 이다.

📖 풀이:
마지막 돌을 가져가면 지는 게임이므로, 상대 차례에 돌이 정확히 $1$개 남도록 몰아가면 상대가 그 $1$개를 어쩔 수 없이 가져가 패한다. 거꾸로 따지면 상대에게 '$4$로 나눈 나머지가 $1$'인 개수($1,5,9,13,\dots$)를 남기면 이긴다. 상대가 $a$개 가져가면 나는 $4-a$개를 가져가 다시 그 형태를 유지할 수 있기 때문이다. $15$에서 $2$개를 가져가면 $13 = 4\times3 + 1$ 개가 남으므로 먼저 $2$개를 가져가면 필승이다.

📖 풀이:
$3$진법 세 자리 대칭수 $\overline{aba}_{(3)}$ 에서 맨 앞자리 $a$는 $0$이 될 수 없으므로 $a \in \{1,2\}$, 가운데 $b \in \{0,1,2\}$ 이다. 값이 최대가 되려면 $a=2,\ b=2$, 즉 $222_{(3)}$. 십진법으로 $2\cdot3^2 + 2\cdot3 + 2 = 18 + 6 + 2 = 26$.

📖 풀이:
첫 번째로 빨간 공이 나왔다는 조건이 주어졌으므로, 그 빨간 공 하나가 빠진 뒤의 상태에서 두 번째를 생각하면 된다. 남은 공은 빨강 $2$개, 파랑 $2$개로 모두 $4$개. 이 중 빨간 공이 $2$개이므로 두 번째도 빨강일 확률은 $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.

📖 풀이:
닮음인 두 입체도형의 부피의 비는 닮음비의 세제곱과 같다. 닮음비가 $2:3$ 이므로 부피의 비는 $2^3 : 3^3 = 8 : 27$. 작은 것의 부피가 $16$이므로 $16 : V = 8 : 27$, 즉 $V = 16 \times \dfrac{27}{8} = 54$.

📖 풀이:
$1$분마다 두 배가 된다는 것은, 거꾸로 보면 $1$분 전에는 절반이었다는 뜻이다. $60$분에 가득 찼다면 그 직전인 $59$분에는 정확히 절반이 차 있었다. '절반이면 시간도 절반(30분)'이라는 직관은 함정이다.

📖 풀이:
교점에서는 두 식의 $y$값이 같으므로 $2x + 1 = -x + 7$. 정리하면 $3x = 6$, $x = 2$. 이를 $y = 2x + 1$ 에 대입하면 $y = 2\cdot2 + 1 = 5$. 따라서 교점은 $(2,\,5)$ 이다.

📖 풀이:
이진수의 각 자리는 오른쪽부터 $2^0, 2^1, 2^2, 2^3$ 의 자릿값을 가진다. $1101_{(2)} = 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 8+4+0+1 = 13$ 이다.

📖 풀이:
평균 $=\dfrac{3+7+7+8+10}{5}=\dfrac{35}{5}=7$. 자료를 크기순으로 놓으면 $3,7,7,8,10$ 이고 가운데 값이 $7$ 이므로 중앙값 $=7$. 가장 많이 나온 값은 $7$(두 번) 이므로 최빈값 $=7$. 세 대푯값이 모두 $7$ 로 일치한다.

📖 풀이:
$|x-3|<2$ 는 $-2 < x-3 < 2$, 즉 $1 < x < 5$ 를 뜻한다. 이를 만족하는 정수는 $x=2,3,4$ 의 $3$ 개이다.

📖 풀이:
피타고라스 정리에 의해 빗변 $c$ 는 $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ 이므로 $c = \sqrt{100} = 10$ 이다.

📖 풀이:
요일은 $7$ 일마다 반복되므로 $100$ 을 $7$ 로 나눈 나머지만 따지면 된다. $100 = 7\times 14 + 2$ 이므로 $100 \equiv 2 \pmod{7}$. 월요일에서 $2$ 일 뒤는 수요일이다.

📖 풀이:
수학을 좋아하는 $20$ 명 중 과학도 함께 좋아하는 학생이 $8$ 명이므로, 수학만 좋아하는 학생은 $20 - 8 = 12$ 명이다.

📖 풀이:
$y$ 축 방향으로 $-3$ 만큼 평행이동하면 식이 $y = 2x + 1 - 3 = 2x - 2$ 가 된다. $y$ 절편은 $x=0$ 일 때의 값이므로 $-2$ 이다. (기울기는 변하지 않는다.)