🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
식 $f(x+1) - f(x) = 3$ 은 $x$가 1 증가할 때 $f$값이 3씩 늘어남을 뜻한다. 즉 $f$는 공차 3인 등차수열의 일반항이다.
$f(n) = f(1) + 3 \cdot (n-1) = 5 + 3(n-1)$.
$n=20$ 대입: $f(20) = 5 + 3 \times 19 = 5 + 57 = 62$.

📖 풀이:
승리 전략의 핵심은 '내 차례가 끝났을 때 남은 돌 수를 4의 배수로 만들기'이다.
후공이 $k$개($k=1,2,3$)를 가져가면 선공이 $(4-k)$개를 가져가서 한 라운드에 정확히 4개를 소모할 수 있기 때문이다.
$21 = 4 \times 5 + 1$ 이므로 선공이 먼저 $1$개를 가져가면 $20$개가 남고, 이후 위의 전략으로 항상 4의 배수($16, 12, 8, 4$)를 유지하여 마지막 4개에서 후공이 무엇을 가져가든 선공이 남은 돌을 모두 가져가 승리한다.

📖 풀이:
$A$가 악당이라고 가정하자. 그러면 그의 말 '둘 중 적어도 한 명은 악당'은 거짓이어야 하므로 '둘 다 기사'가 참이 되고, 특히 $A$도 기사가 되어 모순이다.
따라서 $A$는 기사이고, 그의 말은 참이다. 즉 '둘 중 적어도 한 명은 악당'이 성립하는데 $A$는 기사이므로 그 악당은 반드시 $B$다.
따라서 $A$ 기사, $B$ 악당.

📖 풀이:
차례로 계산한다.
$a_1 = 1$
$a_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$
$a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$
$a_4 = 2 \cdot 7 + 1 = 15$
$a_5 = 2 \cdot 15 + 1 = 31$
$a_6 = 2 \cdot 31 + 1 = 63$.
참고로 일반항은 $a_n = 2^n - 1$ 의 꼴이다 (메르센 수).

📖 풀이:
닮은 두 도형의 넓이비는 닮음비의 제곱이다.
닮음비 $2:3$ 이므로 넓이비는 $2^2 : 3^2 = 4 : 9$.
큰 정삼각형의 넓이가 $36\,\text{cm}^2$ 이므로 작은 정삼각형의 넓이를 $S$라 하면 $S : 36 = 4 : 9$, 즉 $S = 36 \times \dfrac{4}{9} = 16\,\text{cm}^2$.

📖 풀이:
순서를 구별하지 않고 뽑으므로 조합이다.
$\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{3! \cdot 5!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{336}{6} = 56$.
참고로 순서를 구별해 뽑는 순열이라면 $_8 P_3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ 가 된다.

📖 풀이:
$1$부터 $10$ 사이의 소수는 $2, 3, 5, 7$ 의 4개다 ($1$은 소수가 아니라는 점에 주의).
전체 경우의 수는 $10$, 소수가 적힌 공을 뽑는 사건의 경우의 수는 $4$.
따라서 확률은 $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.

📖 풀이:
수학을 좋아하는 집합을 $M$, 과학을 좋아하는 집합을 $S$라 하자.
포함배제 원리에 의해 $|M \cup S| = |M| + |S| - |M \cap S| = 30 + 25 - 15 = 40$.
둘 중 하나라도 좋아하는 학생이 $40$명이므로, 둘 다 좋아하지 않는 학생은 $50 - 40 = 10$ 명.

📖 풀이:
자연수 $n$의 소인수분해가 $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ 일 때 약수의 개수는 $(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$ 이다.
이 값이 $3$이 되려면 $3$을 자연수의 곱으로 표현하는 방법이 유일하므로 $3 = 3$, 즉 소수 한 개의 제곱 꼴이어야 한다. 즉 $n = p^2$ (단, $p$는 소수).
$p^2 \le 100$ 을 만족하는 소수 $p$는 $2, 3, 5, 7$ 의 4개이고, 해당하는 $n$은 $4, 9, 25, 49$.
따라서 답은 $4$개.

📖 풀이:
$\overrightarrow{BA} = (-4, 0)$, $\overrightarrow{BC} = (0, 6)$ 이므로 두 벡터는 서로 수직이다. 즉 $\angle B = 90^\circ$ 인 직각삼각형이다.
원에 내접하는 직각삼각형에서 빗변은 외접원의 지름이라는 성질('탈레스의 정리')을 이용한다.
빗변 $\overline{AC}$ 의 길이는 두 점 사이 거리 공식으로
$AC = \sqrt{(5-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
따라서 외접원의 반지름은 $\dfrac{AC}{2} = \sqrt{13}$.

📖 풀이:
$3$의 거듭제곱을 $7$로 나눈 나머지를 차례로 살피면 $3^1\equiv 3,\ 3^2\equiv 2,\ 3^3\equiv 6,\ 3^4\equiv 4,\ 3^5\equiv 5,\ 3^6\equiv 1 \pmod{7}$ 이므로 주기 $6$. $100 = 6\times 16 + 4$ 이므로 $3^{100} \equiv 3^4 \equiv 4 \pmod{7}$. 따라서 나머지는 $4$.

📖 풀이:
친구들이 실제로 낸 돈은 $27000$원이며, 이 안에 사장이 받은 $25000$원과 직원이 챙긴 $2000$원이 모두 포함되어 있다. 따라서 $27000 = 25000 + 2000$ 이라는 것이 옳은 식이다. 친구들이 낸 $27000$원에 다시 직원의 $2000$원을 더하는 것은 같은 돈을 두 번 세는 잘못이다. 사라진 돈은 없다.

📖 풀이:
△ABC의 넓이 $=\dfrac{1}{2}\times \overline{BC}\times h = \dfrac{1}{2}\times 10 \times 6 = 30$. 합동인 두 도형의 넓이는 같으므로 △DEF의 넓이도 $30$.

📖 풀이:
요일은 $7$개. $25$명을 $7$개의 요일에 분배할 때 최악의 경우에도 가장 많이 몰린 요일에는 $\left\lceil \dfrac{25}{7} \right\rceil = 4$ 명이 있어야 한다. 만약 모든 요일에 $3$명 이하만 있다면 총 $3\times 7 = 21$명 뿐이라 $25$명을 담을 수 없다. 따라서 어떤 요일은 적어도 $4$명이 같이 태어났다.

📖 풀이:
등차수열의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$. $a_{20} = 3 + (20-1)\times 5 = 3 + 95 = 98$.

📖 풀이:
전체 경우의 수는 $2^3 = 8$. '모두 같은 면'은 (앞,앞,앞) 또는 (뒤,뒤,뒤)의 $2$가지. 따라서 확률 $= \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.

📖 풀이:
한 가지 가능한 순서: (1) 양을 데리고 건넘 → (2) 혼자 돌아옴 → (3) 늑대를 데리고 건넘 → (4) 양을 데리고 돌아옴 → (5) 양배추를 데리고 건넘 → (6) 혼자 돌아옴 → (7) 양을 데리고 건넘. 총 $7$회. 더 적은 횟수로는 불가능하다.

📖 풀이:
각 값을 대입해 보면 $1^2+1=2,\ 2^2+1=5,\ 3^2+1=10,\ 4^2+1=17$ 로 모두 성립한다. 차이수열 $f(x+1)-f(x) = 3,5,7,\ldots$ 이 등차로 늘어나는 것도 이차식의 특징.

📖 풀이:
$5$ 는 소수이므로 페르마의 소정리에서 $2^4 \equiv 1,\ 3^4 \equiv 1 \pmod 5$. $100 = 4\times 25$ 이므로 $2^{100} = (2^4)^{25} \equiv 1 \pmod 5,\ 3^{100} \equiv 1 \pmod 5$. 따라서 $2^{100} + 3^{100} \equiv 1 + 1 = 2 \pmod 5$. 나머지는 $2$.

📖 풀이:
평행사변형의 성질에 의해 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ 이고 $\overline{AB} = \overline{CD}$. 중점이므로 $\overline{BM} = \overline{DN}$ 이고 $\overline{BM} \parallel \overline{DN}$. 따라서 사각형 BMDN 은 평행사변형이고, 대각선 BD와 MN은 서로를 이등분한다. 즉 $\overline{BP} = \overline{DP},\ \overline{MP} = \overline{NP}$. 끼인각도 맞꼭지각으로 같으므로 △BMP $\equiv$ △DNP (SAS). 따라서 넓이비는 $1 : 1$.

📖 풀이:
$1$ 부터 $100$ 까지의 수를 $(1,2), (3,4), (5,6), \ldots, (99,100)$ 의 $50$ 개 쌍으로 나눈다 (이것이 $50$ 개의 서랍). $51$ 개의 수를 뽑으면 비둘기집 원리에 의해 어떤 한 쌍에서 두 수가 모두 뽑힌다. 같은 쌍의 두 수는 차가 $1$ 이므로 이웃한 두 수가 반드시 존재한다.

📖 풀이:
안쪽부터 계산한다. $f(2) = 2^2 + 1 = 5$. 이제 $f(5) = 5^2 + 1 = 26$. 따라서 $f(f(2)) = 26$.

📖 풀이:
$0$을 만든 사람이 지는 미제르(misère) 게임이다. 자기 차례에 그 수가 남아 있으면 결국 지게 되는 '패배 위치'를 찾자. $n=1$이면 $1$을 빼서 $0$을 만들 수밖에 없어 지므로 $1$은 패배 위치다. $n=2, 3, 4$는 각각 적당히 빼서 상대에게 $1$을 넘길 수 있으므로 승리 위치다. $n=5$는 $1, 2, 3$ 중 무엇을 빼도($\to 4, 3, 2$) 상대가 승리 위치에 놓이므로 패배 위치다. 이를 반복하면 패배 위치는 $4$로 나눈 나머지가 $1$인 수, 즉 $1, 5, 9, 13, 17, 21$이다. 시작 수 $21 = 4 \times 5 + 1$은 패배 위치이므로, 선공인 첫 번째 사람은 $1, 2, 3$ 중 무엇을 빼도($\to 20, 19, 18$ 모두 승리 위치) 상대에게 승리 위치를 넘기게 되어 필승 전략이 없다. 따라서 정답은 ④이다.

📖 풀이:
포함배제 원리로 영어 또는 수학을 좋아하는 학생 수를 구한다. $|E \cup M| = |E| + |M| - |E \cap M| = 18 + 20 - 12 = 26$. 전체에서 빼면 둘 다 좋아하지 않는 학생은 $30 - 26 = 4$명이다.

📖 풀이:
먼저 소인수분해한다. $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$. 약수의 개수 공식에 따라 각 지수에 $1$을 더한 값을 곱한다. $(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$. 따라서 $360$의 양의 약수는 $24$개이다.