🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
핵심 아이디어: 가장 느린 두 명($5$분과 $10$분)을 함께 보내야 시간을 아낄 수 있다. 1) $1$분, $2$분이 함께 건넘 ($2$분), 2) $1$분이 돌아옴 ($1$분), 3) $5$분, $10$분이 함께 건넘 ($10$분), 4) $2$분이 돌아옴 ($2$분), 5) $1$분, $2$분이 함께 건넘 ($2$분). 합계 $2+1+10+2+2 = 17$분. (만약 $1$분이 매번 손전등을 들고 왕복하면 $2+1+5+1+10 = 19$분이 됨.)

📖 풀이:
경우 1) $A$가 정직 → $B$는 거짓말쟁이 → $B$의 말이 거짓이므로 $C$는 거짓말쟁이 → $C$의 말이 거짓이므로 $A$와 $B$는 다른 종류. 실제로 $A$(정직)와 $B$(거짓)는 다름 → 일관성 ✓.

경우 2) $A$가 거짓 → $B$는 정직 → $C$도 정직 → $C$의 말은 참이므로 $A$와 $B$는 같은 종류여야 함. 그러나 $A$는 거짓, $B$는 정직으로 다름 → 모순.

따라서 $A$만 정직, $B, C$는 거짓말쟁이.

📖 풀이:
두 식을 세운다.
$f(1) = a + b = 5$
$f(3) = 3a + b = 11$

두 식을 빼면 $2a = 6$이므로 $a = 3$.
$b = 5 - 3 = 2$.

따라서 $f(x) = 3x + 2$.
$f(10) = 30 + 2 = 32$.

📖 풀이:
Nim 게임의 필승 조건은 각 무더기 크기의 이진법 XOR이 $0$이면 "후공 승", $0$이 아니면 "선공 승"이다.

현재 무더기: $2, 3, 5$를 이진수로.
- $2 = 010_2$
- $3 = 011_2$
- $5 = 101_2$

자리별 XOR: $0 \oplus 0 \oplus 1 = 1$, $1 \oplus 1 \oplus 0 = 0$, $0 \oplus 1 \oplus 1 = 0$. 결과 $= 100_2 = 4$.

$0$이 아니므로 선공 승. 선공은 XOR 결과를 $0$으로 만드는 수를 두어야 한다. 무더기 중 하나의 크기를 $x \oplus 4$로 바꿀 수 있는 것을 찾는다.
- $2 \oplus 4 = 6 > 2$ → 불가
- $3 \oplus 4 = 7 > 3$ → 불가
- $5 \oplus 4 = 1 < 5$ → 가능. 즉 $5$를 $1$로 줄인다.

따라서 $5$개 무더기에서 $4$개를 가져가 $(2, 3, 1)$ 상태로 만든다. 이후 어떤 수를 두어도 선공은 다시 XOR을 $0$으로 만들어 승리할 수 있다.

📖 풀이:
항 사이 차를 계산하면 $5-2=3$, $10-5=5$, $17-10=7$, $26-17=9$, $37-26=11$.

차가 $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$로 등차수열(공차 $2$)이므로 원래 수열은 $n$에 대한 이차식이다.

각 항을 $a_n = n^2 + 1$로 검증:
- $n=1$: $1+1=2$ ✓
- $n=2$: $4+1=5$ ✓
- $n=3$: $9+1=10$ ✓
- $n=4$: $16+1=17$ ✓
- $n=5$: $25+1=26$ ✓

따라서 $a_n = n^2 + 1$.

📖 풀이:
세 변이 $6, 8, 10$인 삼각형은 $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$이므로 피타고라스 정리의 역에 의해 직각삼각형이다.

빗변은 가장 긴 변 $CA = 10$ (= $FD$)이므로, 직각은 빗변에 마주 보는 꼭짓점인 $B$ (= $E$)에 있다.

따라서 $\angle B = 90°$.

$\triangle DEF$는 $\triangle ABC$와 합동이므로 넓이는 같다.
넓이 $= \frac{1}{2} \times DE \times EF = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$.

📖 풀이:
두 경우로 나눠 센다.

경우 1) $A$, $B$ 모두 뽑힌다.
나머지 한 자리를 $A, B$를 제외한 $8$명 중에서 뽑는 경우.
$\binom{8}{1} = 8$

경우 2) $A$, $B$ 모두 뽑히지 않는다.
$A, B$를 제외한 $8$명 중에서 $3$명을 뽑는 경우.
$\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 합한다.
$8 + 56 = 64$.

📖 풀이:
전체 경우의 수: 공 $8$개에서 $2$개 뽑기.
$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$

색이 서로 다른 경우 (빨강 1, 파랑 1):
$\binom{3}{1} \times \binom{5}{1} = 3 \times 5 = 15$

확률 $= \dfrac{15}{28}$.

📖 풀이:
$1$부터 $100$까지의 정수를 다음 $50$개의 쌍으로 분류한다.
$$\{1, 2\}, \{3, 4\}, \{5, 6\}, \ldots, \{99, 100\}$$

각 쌍은 정확히 연속한 두 정수로 이뤄져 있다. 따라서 $50$개의 "서랍"이 있다.

이제 $51$개의 정수를 골랐다고 하자. 비둘기집 원리에 따르면, $50$개의 서랍에 $51$개의 정수를 넣으면 어떤 서랍에는 정수가 적어도 $2$개 들어간다.

그 서랍은 연속한 두 정수의 쌍이고, 그 쌍의 두 원소가 모두 뽑힌 정수에 포함된다. 즉, 차가 $1$인 두 정수가 존재한다. ∎

📖 풀이:
자연수 $n$을 소인수분해해 $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$로 쓰면, 약수의 개수는
$$d(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$$

$d(n) = 12$가 되도록 $12$를 양의 정수의 곱으로 분해하면:
- $12 = 12$: $a_1 = 11$. 최소 $n = 2^{11} = 2048$.
- $12 = 6 \times 2$: $a_1 = 5, a_2 = 1$. 최소 $n = 2^5 \times 3 = 96$.
- $12 = 4 \times 3$: $a_1 = 3, a_2 = 2$. 최소 $n = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.
- $12 = 3 \times 2 \times 2$: $a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 1$. 최소 $n = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$.

네 값을 비교하면 $\min(2048, 96, 72, 60) = 60$.

검증: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$의 약수는 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ → $12$개 ✓.

📖 풀이:
세 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$가 이루는 삼각형의 넓이는 신발끈 공식
$$S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$

$A(1, 2), B(5, 6), C(7, 0)$ 대입:
$$S = \frac{1}{2} |1 \cdot (6 - 0) + 5 \cdot (0 - 2) + 7 \cdot (2 - 6)|$$
$$= \frac{1}{2} |6 + (-10) + (-28)| = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$$

검증: 밑변 $AB$의 길이 $= \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
직선 $AB$의 방정식 $y - 2 = 1 \cdot (x - 1)$, 즉 $x - y + 1 = 0$.
점 $C(7, 0)$에서 직선까지 거리 $= \frac{|7 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
넓이 $= \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$ ✓.

📖 풀이:
체스판 색칠 논증을 사용한다.

$8 \times 8$ 체스판에는 흑백이 번갈아 칠해져 있고, 흑 칸 $32$개, 백 칸 $32$개 (합 $64$).

핵심: **대각선 마주 보는 두 꼭짓점 칸은 항상 같은 색**이다. (행 인덱스 + 열 인덱스의 홀짝이 같으면 같은 색. $1+1=2$, $8+8=16$ - 모두 짝수.)

두 칸이 같은 색 (예: 흰색)이라고 하자. 잘라낸 후 남은 칸:
- 흑 칸: $32$
- 백 칸: $32 - 2 = 30$

도미노 $1 \times 2$는 가로든 세로든 항상 인접한 두 칸을 덮고, 인접한 두 칸은 반드시 색이 다르다. 즉, **도미노 하나는 반드시 흑 1개 + 백 1개를 덮는다**.

도미노 $31$장이 덮는 흑 칸 수 = 백 칸 수 = $31$.

그러나 남은 흑 칸은 $32$, 백 칸은 $30$이므로 두 수가 다르다. 모순.

따라서 **불가능**.

📖 풀이:
경우 1) A가 정직이라 가정. 그러면 "B는 정직"이 참이므로 B도 정직. 그런데 B는 "A와 나는 다른 종족"이라 했고 B가 정직이면 이 말도 참이어야 하는데 둘 다 정직이므로 같은 종족 → 모순. 경우 2) A가 거짓말쟁이라 가정. "B는 정직"이 거짓이므로 B는 거짓말쟁이. B의 발언 "다른 종족"도 거짓이어야 하는데 둘 다 거짓말쟁이라 같은 종족이므로 거짓이 맞다 → 일관됨. 따라서 둘 다 거짓말쟁이.

📖 풀이:
$3^1 \equiv 3,\ 3^2 \equiv 9 \equiv 2,\ 3^3 \equiv 6,\ 3^4 \equiv 18 \equiv 4,\ 3^5 \equiv 12 \equiv 5,\ 3^6 \equiv 15 \equiv 1 \pmod{7}$. 주기가 6이므로 $3^{10} = 3^{6} \cdot 3^{4} \equiv 1 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{7}$. 따라서 나머지는 4.

📖 풀이:
차이를 보면 $2,4,6,8$로 등차수열이므로 이차식임을 추측. $f(n) = n^2 - n = n(n-1)$로 두면 $f(1)=0,\ f(2)=2,\ f(3)=6,\ f(4)=12,\ f(5)=20$ 모두 일치. 따라서 $f(10) = 10 \cdot 9 = 90$.

📖 풀이:
이 게임의 패배 위치(자기 차례에 돌이 그 수만큼 남으면 지는 위치)는 3의 배수. 왜냐하면 상대가 1개를 가져가면 내가 2개를, 상대가 2개를 가져가면 내가 1개를 가져가서 매 라운드 3개씩 줄이면 상대 차례마다 항상 3의 배수가 남기 때문. 10에서 1개를 가져가 9개를 남기면 상대는 패배 위치에 빠진다. 따라서 첫 수는 1개.

📖 풀이:
포함배제 원리: $|M \cup S \cup E| = |M|+|S|+|E| - |M\cap S| - |M\cap E| - |S\cap E| + |M\cap S\cap E| = 60+50+40-30-25-20+15 = 90$. 따라서 적어도 한 과목을 좋아하는 학생은 90명. 어느 것도 좋아하지 않는 학생 = $100-90=10$명.

📖 풀이:
임의의 두 양의 정수에 대해 항등식 $\gcd(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b) = a \cdot b$가 성립한다. 실제로 $\gcd = 2^2 \cdot 3^2 = 36$, $\text{lcm} = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 7560$. $36 \cdot 7560 = 272160$. 한편 $a = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$, $b = 4 \cdot 27 \cdot 7 = 756$, $ab = 360 \cdot 756 = 272160$. 일치한다.

📖 풀이:
공식 1: 정삼각형의 넓이 $= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3}$. 반둘레 $s = \frac{18}{2}=9$. 내접원 반지름 $r = \frac{\text{넓이}}{s} = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$. 공식 2: 정삼각형은 무게중심 = 내심 = 외심이고, 내접원 반지름은 높이의 $1/3$. 높이 $= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3}$이므로 $r = \sqrt{3}$.

📖 풀이:
전체 경우의 수 $= \binom{12}{2} = 66$. 같은 색 경우: 빨강 $\binom{3}{2}=3$, 파랑 $\binom{4}{2}=6$, 흰색 $\binom{5}{2}=10$이므로 총 $3+6+10=19$. 확률 $= \dfrac{19}{66}$.

📖 풀이:
전체 - 이웃하는 경우(여사건). 전체 = $5! = 120$. A와 B가 이웃하는 경우: A,B를 한 묶음으로 보면 4개의 대상을 일렬로 = $4!=24$, 묶음 안에서 AB/BA 순서 2가지 → $24 \times 2 = 48$. 따라서 이웃하지 않는 경우 = $120 - 48 = 72$.

📖 풀이:
경우 1) A가 거짓말쟁이라 가정. A의 발언 "적어도 한 명 정직"이 거짓이 되려면 세 명 모두 거짓말쟁이여야 한다. 그러면 B도 거짓말쟁이인데 B의 발언 "A는 거짓말쟁이"는 사실이 되어 B가 진실을 말한 셈 → 모순. 경우 2) A가 정직이라 가정. B의 발언 "A는 거짓말쟁이"는 거짓이므로 B는 거짓말쟁이. C의 발언 "B는 정직"도 거짓이므로 C는 거짓말쟁이. A 발언 "적어도 한 명 정직"은 A 자신이 정직이므로 참 → 일관됨. 따라서 A만 정직, B와 C는 거짓말쟁이.

📖 풀이:
먼저 평행사변형 확인: $\overrightarrow{AB} = (4,1)$, $\overrightarrow{DC} = (4,1)$로 같으므로 AB∥DC이고 길이도 같다 → 평행사변형. 넓이 = $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}|$. $\overrightarrow{AD} = (2,4)$이므로 2차원 외적(스칼라) $= 4 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 14$. 따라서 넓이는 14.

📖 풀이:
$n$칸 계단을 오르는 방법의 수를 $a_n$이라 하면, 마지막에 1칸을 오른 경우($a_{n-1}$가지)와 2칸을 오른 경우($a_{n-2}$가지)로 나뉘므로 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ (피보나치 점화식). 초깃값 $a_1=1$, $a_2=2$. 차례로 $a_3=3, a_4=5, a_5=8, a_6=13, a_7=21, a_8=34$. 답은 34.

📖 풀이:
합이 9가 되는 쌍을 만들면 $\{1,8\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\}$ 의 4쌍이 1 - 8을 빠짐없이 덮는다.
이 4쌍을 4개의 '비둘기집'으로 보고, 고른 5개의 수를 '비둘기'로 본다.
비둘기집 원리에 의해 어떤 쌍에는 두 수가 모두 들어가야 하고, 그 두 수의 합은 9이다. 따라서 비둘기집의 개수는 4.