🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
가정법으로 모순을 찾는다. (1) $B$가 정직하다고 가정하면 '둘 다 정직'이 참이므로 $A$도 정직. 그런데 정직한 $A$의 발언 '$B$는 거짓말쟁이'는 참이어야 하므로 $B$는 거짓말쟁이. 이는 가정과 모순. (2) 따라서 $B$는 거짓말쟁이. 그러면 $A$의 말 '$B$는 거짓말쟁이'는 참이므로 $A$는 정직.

📖 풀이:
$12$개월을 비둘기집으로 본다. 각 달에 최대 $2$명씩 분산하면 총 $12 \times 2 = 24$명까지는 어떤 달에도 $3$명이 모이지 않을 수 있다. 그러나 $25$번째 사람이 들어오면, 이미 $2$명씩 차 있는 어떤 달에 반드시 추가되어 그 달의 인원이 $3$명이 된다. 따라서 최소 인원은 $25$명. 일반화: $k$명 보장에는 $12(k-1) + 1$명이 필요하다.

📖 풀이:
두 무더기가 같은 개수일 때 후공은 '대칭 전략 (거울 전략)'을 쓰면 된다. 즉, 선공이 어느 한쪽 무더기에서 $k$개를 가져가면, 후공은 반대쪽 무더기에서 똑같이 $k$개를 가져간다. 그러면 다시 두 무더기가 같아진 상태로 선공의 차례가 돌아오고, 이 과정이 반복되어 결국 마지막 돌은 항상 후공이 가져가게 된다.

📖 풀이:
점화식에 따라 순서대로 계산한다. $a_1 = 2$, $a_2 = 2(2)+1 = 5$, $a_3 = 2(5)+1 = 11$, $a_4 = 2(11)+1 = 23$, $a_5 = 2(23)+1 = 47$. 일반항을 구하면 $a_n + 1 = 3 \cdot 2^{n-1}$, 즉 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$이고 $a_5 = 3 \cdot 16 - 1 = 47$로 일치.

📖 풀이:
아날로그 시계가 거울에 좌우 반전되면 실제 시각 $T$와 거울 시각 $T'$의 합은 항상 $12$시가 된다 (정확히는 $11$시 $60$분). 따라서 실제 시각 = $11\!:\!60 - 9\!:\!20 = 2\!:\!40$. 검증: 실제로 $2$시 $40$분의 시계를 거울에 비춰 보면 시침과 분침이 좌우 반전되어 $9$시 $20$분으로 보인다.

📖 풀이:
신발끈 (Shoelace) 공식을 사용한다. $\text{넓이} = \dfrac{1}{2}\left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right|$ $= \dfrac{1}{2}|1 \cdot (3 - 7) + 5 \cdot (7 - 2) + 3 \cdot (2 - 3)|$ $= \dfrac{1}{2}|-4 + 25 - 3| = \dfrac{1}{2} \cdot 18 = 9$.

📖 풀이:
가정 1: A가 정직하다고 하자. 그러면 "둘 다 거짓말쟁이"가 참이므로 A도 거짓말쟁이여야 하는데 이는 가정과 모순. 따라서 A는 거짓말쟁이. A의 발언은 거짓이므로 "둘 다 거짓말쟁이"의 부정인 "적어도 한 명은 정직"이 참이다. A는 거짓말쟁이이므로 정직한 쪽은 B. 결론: A는 거짓말쟁이, B는 정직.

📖 풀이:
규칙대로 차례로 계산한다. $a_1=1,\ a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=3,\ a_5=5,\ a_6=8,\ a_7=13,\ a_8=21,\ a_9=34,\ a_{10}=55$. 따라서 $a_{10}=55$.

📖 풀이:
원순열에서는 회전해서 같아지는 배치를 같은 것으로 본다. 한 사람을 한자리에 고정하고 나머지 $n-1$명을 일렬로 세우면 되므로 원순열의 수는 $(n-1)!$. 따라서 $(5-1)!=4!=24$.

📖 풀이:
전체 경우의 수는 $6\times 6=36$. 합이 $7$인 경우는 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$의 $6$가지. 따라서 확률 $=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$.

📖 풀이:
소인수분해하면 $12=2^2\times 3$, $18=2\times 3^2$. 최소공배수는 각 소수의 최대 지수를 모은 것이므로 $\text{lcm}(12,18)=2^2\times 3^2=4\times 9=36$. 확인: $36=12\times 3=18\times 2$이므로 둘 다 나누어떨어진다.

📖 풀이:
조건을 식으로 쓰면 $a+b=3$, $2a+b=5$. 두 식을 빼면 $a=2$, 대입하면 $b=1$. 따라서 $f(x)=2x+1$이고 $f(10)=2\times 10+1=21$.

📖 풀이:
닮은 두 평면도형에서 길이의 비가 $k$이면 넓이의 비는 $k^2$이다. 닮음비 $2:3$이면 넓이의 비는 $2^2:3^2=4:9$. 참고로 부피의 비는 $2^3:3^3=8:27$이지만 이 문제는 평면 도형이므로 제곱 비.

📖 풀이:
한 사람이 할 수 있는 악수 횟수는 $0$부터 $7$까지. 그런데 누군가 $7$번 악수했다면 그 사람은 나머지 모든 사람과 악수한 것이므로 $0$번 악수한 사람은 존재할 수 없다. 즉 실제로 가능한 값의 집합은 $\{0,1,\ldots,6\}$ 또는 $\{1,2,\ldots,7\}$ 중 하나로 $7$개. $8$명을 $7$개의 "칸"에 넣으면 비둘기집 원리로 적어도 두 명은 같은 칸(=같은 악수 횟수)에 들어간다.

📖 풀이:
포함-배제 원리로 적어도 한 종목을 좋아하는 학생 수는 $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C|=25+20+15-10-5-8+3=40$. 따라서 어느 종목도 좋아하지 않는 학생은 $50-40=10$명.

📖 풀이:
두 무더기의 돌 개수가 같아진 상태($(k,k)$ 꼴)에서는 후수가 "미러 전략"으로 항상 마지막 돌을 가져갈 수 있다. 상대가 한 쪽에서 $m$개를 빼면 반대쪽에서 똑같이 $m$개를 빼서 균형을 유지하면 되기 때문이다. 따라서 선수는 두 무더기를 같은 개수로 만들어 후수에게 넘기는 것이 필승 전략. $7$ 무더기에서 $3$개를 가져가 $(4,4)$로 만들면 된다.

📖 풀이:
외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이다. 변 $AB$의 중점 $(3,0)$이고 $AB$가 $x$축에 평행하므로 수직이등분선은 $x=3$. 변 $AC$의 중점 $(1,2)$, 기울기 $\dfrac{4-0}{2-0}=2$이므로 수직이등분선의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$. 식: $y-2=-\dfrac{1}{2}(x-1)$, 즉 $y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{5}{2}$. $x=3$ 대입 시 $y=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}=1$. 외심 $(3,1)$. 검증: $\overline{OA}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$, $\overline{OB}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$, $\overline{OC}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$로 모두 같다.

📖 풀이:
순서를 따지지 않으므로 조합. $_6C_3 = \dfrac{6!}{3!\,3!} = \dfrac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1} = 20$. 따라서 $20$가지.

📖 풀이:
단계: (1) 농부+양 건너기 (2) 농부 혼자 돌아옴 (3) 농부+늑대 건너기 (4) 농부+양 돌아옴 (5) 농부+양배추 건너기 (6) 농부 혼자 돌아옴 (7) 농부+양 건너기. 총 $7$번. 핵심은 양을 한 번 다시 데려오는 것.

📖 풀이:
합집합의 크기: $|M\cup E| = |M| + |E| - |M\cap E| = 60 + 70 - 40 = 90$. 따라서 어느 것에도 속하지 않는 학생은 $100 - 90 = 10$명.

📖 풀이:
A, B를 하나의 묶음으로 보면 묶음 $1$개와 나머지 $4$명, 총 $5$개를 일렬로 세우는 경우는 $5! = 120$. 묶음 안에서 A, B의 순서는 AB, BA의 $2! = 2$가지. 따라서 $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$.

📖 풀이:
$7 = 4 + 3$ 이므로 $7 \equiv 3 \equiv -1 \pmod 4$. 따라서 $7^{2026} \equiv (-1)^{2026} \pmod 4$. $2026$은 짝수이므로 $(-1)^{2026} = 1$. 답은 $1$.

📖 풀이:
전체 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$. 합이 $7$인 경우: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ 총 $6$가지. 확률 $= \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.

📖 풀이:
$|A|=\lfloor 100/2\rfloor=50,\ |B|=\lfloor 100/3\rfloor=33,\ |C|=\lfloor 100/5\rfloor=20.$ 교집합: $|A\cap B|=\lfloor 100/6\rfloor=16,\ |A\cap C|=\lfloor 100/10\rfloor=10,\ |B\cap C|=\lfloor 100/15\rfloor=6,\ |A\cap B\cap C|=\lfloor 100/30\rfloor=3.$ 포함-배제: $|A\cup B\cup C| = 50+33+20-16-10-6+3 = 74.$ 어느 것의 배수도 아닌 수: $100-74 = 26$.

📖 풀이:
위치(위, 가운데, 아래)가 구별되므로 순서가 의미 있는 순열. $_7P_3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$. 위 칸 $7$가지, 가운데 $6$가지(위와 다름), 아래 $5$가지(위·가운데와 다름).