🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
분침: $30$분 위치는 $12$시 기준 $30 \times 6° = 180°$. 시침: $3$시 정각엔 $3 \times 30° = 90°$였고, $30$분 동안 $30 \times 0.5° = 15°$ 더 진행하여 $105°$. 두 바늘 사이 각 = $|180° - 105°| = 75°$. (시침은 $1$분당 $0.5°$, 분침은 $1$분당 $6°$ 움직임.)

📖 풀이:
소인수분해: $12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$. 최소공배수는 각 소인수의 더 큰 지수를 취해 곱한 값이다. $\text{lcm}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$. 검산: $36 = 12 \times 3 = 18 \times 2$ 이므로 $12, 18$의 공배수이고, 둘 다 더 작은 공배수는 없다.

📖 풀이:
소인수분해: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. 최대공약수는 공통 소인수의 더 작은 지수를 취해 곱한 값이다. $\gcd(60, 84) = 2^2 \times 3 = 12$. 유클리드 호제법으로도 확인: $84 = 60 \times 1 + 24$, $60 = 24 \times 2 + 12$, $24 = 12 \times 2 + 0$ 이므로 답은 $12$.

📖 풀이:
가로등 꼭대기 $L$, 가로등 발 $O$, 사람의 발 $P$, 그림자 끝 $S$라 하자. 사람의 키와 가로등이 평행이므로 큰 직각삼각형 $\triangle LOS$와 작은 $\triangle (\text{사람})PS$는 닮음이다. $OP = x$ (구하는 거리), $PS = 2$이므로 $OS = x + 2$. 비례식 $\frac{4}{x+2} = \frac{1.6}{2}$. 양변에 $(x+2)$ 곱하면 $4 \times 2 = 1.6 \times (x+2)$, 즉 $8 = 1.6x + 3.2$. 따라서 $x = \frac{4.8}{1.6} = 3$ (m).

📖 풀이:
두 주사위를 던지는 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$가지. 차의 절댓값이 $2$인 경우는 $(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4)$로 총 $8$가지. 확률 = $\dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}$.

📖 풀이:
$7$일마다 같은 요일이 반복되므로 $100$일 후 요일은 $100 \pmod 7$ 에 달려있다. $100 = 14 \times 7 + 2$이므로 $100 \equiv 2 \pmod 7$. 따라서 수요일에서 $2$일 후, 즉 금요일. (확인: 수요일 $\to$ 목요일 $\to$ 금요일.)

📖 풀이:
정삼각형 $ABE$이므로 $BE = AB = 6$이고 $\angle ABE = 60°$. 정사각형 $ABCD$이므로 $\angle ABC = 90°$. $E$가 정사각형 바깥쪽에 있으므로 두 각은 점 $B$를 중심으로 같은 방향에 더해진다: $\angle CBE = \angle ABC + \angle ABE = 90° + 60° = 150°$. 따라서 $\triangle BCE$의 넓이 = $\dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot BE \cdot \sin(\angle CBE) = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 150° = \dfrac{1}{2} \cdot 36 \cdot \dfrac{1}{2} = 9$.

📖 풀이:
$A$가 정직이라 가정하면: $A$의 말이 참 $\Rightarrow$ $C$는 거짓. 그러면 $A$(정직)와 $C$(거짓)는 다른 종류이므로 $B$의 발언 '같은 종류' 는 거짓 $\Rightarrow$ $B$는 거짓. 그러면 $C$의 발언 "$B$는 정직" 은 거짓 $\Rightarrow$ $C$는 거짓. 일관됨 $\checkmark$. 반대로 $A$가 거짓이라 가정하면: $C$는 정직 $\Rightarrow$ $A, C$는 다른 종류 $\Rightarrow$ $B$ '같은 종류' 거짓 $\Rightarrow$ $B$ 거짓 $\Rightarrow$ $C$의 "$B$ 정직"은 거짓인데, $C$가 정직이라 했으므로 모순. 유일한 해는 $A$=정직, $B$=거짓, $C$=거짓.

📖 풀이:
$2$의 거듭제곱을 $7$로 나눈 나머지의 주기를 찾는다. $2^1 \equiv 2$, $2^2 \equiv 4$, $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$. 이후 $2^4 \equiv 2 \cdot 1 = 2$ 로 다시 시작 $\Rightarrow$ 주기 $3$. 지수 $100$을 $3$으로 나누면 $100 = 3 \times 33 + 1$, 즉 $100 \equiv 1 \pmod 3$. 따라서 $2^{100} \equiv 2^1 \equiv 2 \pmod 7$.

📖 풀이:
사물함 $n$은 그 번호의 약수에 해당하는 학생들에 의해 토글된다. 따라서 토글 횟수 = $n$의 약수의 개수. 처음에 닫혀 있었으므로 토글 횟수가 홀수면 최종적으로 열려 있음. $n$의 약수는 보통 $(d, n/d)$ 쌍으로 짝지어져 짝수 개인데, $n$이 완전제곱수일 때만 $\sqrt n$이 자기 자신과 쌍이 되어 한 개가 남고, 총 개수가 홀수가 된다. $1$ - $100$ 사이 완전제곱수: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ $\Rightarrow$ $10$개.

📖 풀이:
경우 1) A가 정직이라 가정 → A의 말 "B는 거짓말쟁이"는 참 → B는 거짓말쟁이. 그러면 B의 말 "같은 종류"는 거짓 → 실제로 다른 종류. 이는 A=정직, B=거짓말쟁이와 일관. ✓ 경우 2) A가 거짓말쟁이라 가정 → A의 말 거짓 → B는 정직. 그러면 B의 말 "같은 종류"는 참이어야 하는데 실제로는 다른 종류 → 모순. ✗ 따라서 A는 정직, B는 거짓말쟁이.

📖 풀이:
등비수열의 일반항 공식에 $n=5$를 대입한다. $a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$. 직접 나열해 확인: 3, 6, 12, 24, 48. 다섯 번째 항이 48이다.

📖 풀이:
비둘기집 원리: $n+1$마리의 비둘기를 $n$개의 둥지에 넣으면 어떤 둥지에는 비둘기가 2마리 이상 있다. 여기서 12개의 달이 '둥지', 13명의 학생이 '비둘기'에 해당한다. 13명이 12개의 달에 분포하면 어떤 달에는 반드시 2명 이상이 있다. 단, 3명 이상은 보장되지 않는다(예: 한 달에 2명, 나머지 11개월에 1명씩).

📖 풀이:
세 쌍의 대응변의 길이가 모두 같으므로(SSS, 변-변-변) $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$이다. 또한 $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$이므로 $\triangle ABC$는 $\angle B = 90°$인 직각삼각형(피타고라스의 역). 따라서 넓이는 $\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$.

📖 풀이:
핵심 전략: 상대 차례에 남은 돌의 개수가 4의 배수가 되도록 만들면 반드시 이긴다. 상대가 $k$개($1 \le k \le 3$)를 가져가면 나는 $(4-k)$개를 가져가 매 라운드마다 4개씩 줄이면 된다. $21 = 4 \times 5 + 1$이므로 처음에 1개를 가져가 20개(4의 배수)를 만든다. 이후 상대 차례 → 20, 16, 12, 8, 4, 0 순으로 진행되어 결국 마지막 돌을 내가 가져간다.

📖 풀이:
소인수분해: $30 = 2 \times 3 \times 5$, $45 = 3^2 \times 5$. 최대공약수 $a = 3 \times 5 = 15$. 최소공배수 $b = 2 \times 3^2 \times 5 = 90$. $a \times b = 15 \times 90 = 1350$. 검산: 임의의 두 자연수 $m, n$에 대해 $\gcd(m,n) \times \text{lcm}(m,n) = m \times n$이 성립하므로 $30 \times 45 = 1350$. ✓

📖 풀이:
$\overrightarrow{AB} = (5, 0)$, $\overrightarrow{DC} = (5, 0)$로 같으므로 사각형 $ABCD$는 평행사변형이다. 밑변 $AB$의 길이는 5. 점 $D$의 $y$좌표가 3이고 점 $A, B$는 $x$축 위에 있으므로 높이는 3. 따라서 넓이 = 밑변 × 높이 = $5 \times 3 = 15$.

📖 풀이:
포함-배제 원리: $|M \cup A \cup D| = |M| + |A| + |D| - |M \cap A| - |A \cap D| - |M \cap D| + |M \cap A \cap D|$. 대입: $= 20 + 18 + 15 - 8 - 6 - 7 + 4 = 53 - 21 + 4 = 36$. 적어도 하나에 가입한 학생이 36명이므로 어떤 동아리에도 가입하지 않은 학생은 $40 - 36 = 4$명.

📖 풀이:
안쪽부터 차례로 계산한다. (1) $f(2) = 2^2 - 1 = 3$. (2) $f(f(2)) = f(3) = 3^2 - 1 = 8$. (3) $f(f(f(2))) = f(8) = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63$. 함수 합성은 결합법칙이 성립하므로 안→밖 순서로 대입하면 된다.

📖 풀이:
핵심 아이디어: 가장 느린 두 사람(C=5, D=10)을 함께 건너게 하여 10분 하나로 묶는다. 최적 순서: ① A+B 건너기 → 2분 (B 속도). ② A가 손전등 갖고 돌아옴 → 1분. ③ C+D 건너기 → 10분 (D 속도). ④ B가 손전등 갖고 돌아옴 → 2분. ⑤ A+B 건너기 → 2분. 총 $2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17$분. (가장 빠른 A가 매번 돌아오는 단순 전략은 $10+1+5+1+2 = 19$분으로 더 오래 걸린다.)

📖 풀이:
소수는 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수다. $51 = 3 \times 17$이므로 합성수이다. 37, 41, 53은 자기 자신보다 작은 어떤 소수로도 나누어지지 않으므로 모두 소수다. 작은 소수 ($2, 3, 5, 7$)로 나누어 보고, 나누어떨어지지 않으면 소수임이 거의 확정된다 ($\sqrt{53} < 8$이므로 $7$까지만 확인하면 충분).

📖 풀이:
동전 3개의 모든 경우의 수는 $2^3 = 8$가지. 모두 같은 면인 경우는 (앞,앞,앞)과 (뒤,뒤,뒤) 두 가지뿐이다. 따라서 확률은 $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.

📖 풀이:
같은 것이 있는 순열 (멀티셋 순열) 공식: $\dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{120}{6 \cdot 2} = 10$. 또는 5자리 중 빨간 깃발이 들어갈 자리 3개를 고르는 조합 $\binom{5}{3} = 10$으로 보아도 같다.

📖 풀이:
적어도 한 강좌를 듣는 학생 수 = $50 - 8 = 42$명. 포함배제 원리에 의해 $|E \cup C| = |E| + |C| - |E \cap C|$이므로 $42 = 30 + 25 - x$. 따라서 $x = 55 - 42 = 13$명.

📖 풀이:
$DE \parallel BC$이므로 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA 닮음). $AB = AD + DB = 4 + 6 = 10$. 닮음비는 $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$. 따라서 $AE = \dfrac{2}{5} \times AC = \dfrac{2}{5} \times 15 = 6$.