🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
$y$축 대칭은 $x$좌표의 부호가 바뀐다: $P(3, -2) \to Q(-3, -2)$. $x$축 대칭은 $y$좌표의 부호가 바뀐다: $Q(-3, -2) \to R(-3, 2)$. 따라서 점 $R$의 좌표는 $(-3, 2)$이다. $y$축 대칭 후 $x$축 대칭의 합성은 $(x, y) \to (-x, y) \to (-x, -y)$이므로, 이는 우연이 아니라 모든 점에 대하여 항상 원점 대칭($180^\circ$ 회전)과 일치한다.

📖 풀이:
9개 공을 3개씩 A, B, C 세 그룹으로 나눈다. \n(1차) A와 B를 양쪽 접시에 올린다. \n - A가 무거우면 무거운 공은 A에. \n - B가 무거우면 B에. \n - 평형이면 C에. \n어떤 경우든 후보가 정확히 3개로 줄어든다. \n(2차) 후보 3개 중 임의의 2개를 양쪽 접시에 올린다. \n - 한쪽이 내려가면 그 공. \n - 평형이면 남은 1개. \n따라서 2번이면 충분하며, 1번으로는 9개 중 1개를 특정할 수 없으므로 답은 2번.

📖 풀이:
임의의 자연수를 $6$으로 나눈 나머지는 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 중 하나이다(6가지 경우). 이를 6개의 '비둘기집'이라 하자. 자연수 $7$개를 고르면 비둘기집 원리에 의해 어떤 두 수의 나머지가 같다. 두 수 $a, b$가 $a \equiv b \pmod{6}$이면 $a - b$가 $6$의 배수다. 한편 $n = 6$일 때는 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$처럼 나머지가 모두 다른 6개를 고를 수 있으므로 차가 6의 배수인 쌍이 존재하지 않을 수 있다. 따라서 답은 $7$.

📖 풀이:
점화식 $a_{n+1} - a_n = 2n$을 차분의 합으로 풀자. \n$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n^2 - n + 1.$$ \n따라서 $a_{10} = 10^2 - 10 + 1 = 100 - 10 + 1 = 91$. 직접 계산해도 $1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91$로 같은 결과.

📖 풀이:
두 직선이 만나는 점에서는 $y$값이 같으므로 $2x - 1 = -x + 5$. 정리하면 $3x = 6$이므로 $x = 2$. 이를 한 식에 대입하면 $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. 따라서 교점은 $(2, 3)$이며 $a + b = 2 + 3 = 5$.

📖 풀이:
$5$장에서 $2$장을 뽑는 전체 경우의 수는 $\binom{5}{2} = 10$. 두 수의 곱이 짝수이려면 적어도 한 수가 짝수여야 한다. 짝수 카드는 $\{2, 4\}$로 $2$장, 홀수 카드는 $\{1, 3, 5\}$로 $3$장. \n - 짝수 1장 + 홀수 1장: $2 \times 3 = 6$가지. \n - 짝수 2장: $\binom{2}{2} = 1$가지. \n따라서 곱이 짝수인 경우는 $6 + 1 = 7$가지. 확률은 $\frac{7}{10}$이다.

📖 풀이:
제곱수의 합 공식 $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 을 이용하자. $n = 10$을 대입하면 $\frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$. 직접 더해서 확인: $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385$.

📖 풀이:
먼저 소인수분해: $120 = 2^3 \times 3 \times 5$. 양의 약수의 총합은 각 소인수의 거듭제곱들을 모두 더한 후 곱하면 된다. $$\sigma(120) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3)(1 + 5) = 15 \times 4 \times 6 = 360.$$ 이 공식은 모든 약수를 곱셈적으로 전개해 한 번씩만 세는 원리에 기반한다.

📖 풀이:
주어진 함수방정식에 $x = \frac{1}{2}$를 대입하자. $1 - x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$이므로 좌변은 $f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{2}\right) = 2 f\left(\frac{1}{2}\right)$. 우변은 $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. 따라서 $2 f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$이므로 $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$.

📖 풀이:
좌표 세 점이 이루는 삼각형의 넓이는 '신발끈 공식'으로 직접 계산할 수 있다. \n$$S = \frac{1}{2}\left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$ \n대입하면 \n$$S = \frac{1}{2}\left|1 \cdot (2 - 6) + 7 \cdot (6 - 1) + 3 \cdot (1 - 2)\right| = \frac{1}{2}\left|-4 + 35 - 3\right| = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14.$$ \n확인: 직사각형 $[1,7] \times [1,6]$의 넓이 $30$에서 바깥 삼각형 3개의 넓이를 빼도 $14$.

📖 풀이:
한 변 $2$인 정사각형을 가로와 세로 중간선으로 자르면 한 변 $1$인 정사각형 $4$개가 빈틈없이 나온다. 점이 $5$개이고 칸이 $4$개이므로 비둘기집 원리에 의해 어떤 한 칸에는 점이 적어도 $2$개 들어 있다. 한 변 $1$인 정사각형 내부의 두 점 사이 최대 거리는 대각선 길이 $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$이므로, 같은 칸의 두 점은 거리가 $\sqrt{2}$ 이하이다. ②는 한 변 $1$인 정사각형 $5$개로는 한 변 $2$인 정사각형을 채울 수 없다. ③, ④는 영역의 지름이 $\sqrt{2}$보다 커서 결론을 보장하지 못한다.

📖 풀이:
최악의 경우를 생각한다. 7색 각각 2개씩 꺼내면 14개까지는 같은 색이 최대 2개에 그칠 수 있다. 그러나 15번째 구슬을 꺼내는 순간, 어떤 색을 뽑든 그 색은 3개가 된다 (비둘기집 원리). 따라서 최소 15개.

📖 풀이:
$21 = 4 \times 5 + 1$. 선공이 먼저 1개를 가져가 20개로 만든다. 이후 후공이 $a$개($1 \le a \le 3$) 가져갈 때마다 선공은 $4-a$개를 가져가, 남은 돌의 수를 항상 4의 배수로 유지한다. 이 전략으로 마지막에 4개가 남고 후공이 1, 2, 3개 중 무엇을 가져가도 선공이 나머지를 모두 가져가 승리한다.

📖 풀이:
두 점 사이의 거리 공식: $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. 가로 3, 세로 4의 직각삼각형의 빗변이므로 3-4-5 피타고라스 세 쌍에 해당.

📖 풀이:
먼저 안쪽 함수값을 구한다. $f(2) = 3 \times 2 - 5 = 1$. 다음으로 바깥 함수에 대입한다. $f(1) = 3 \times 1 - 5 = -2$. 따라서 $f(f(2)) = -2$.

📖 풀이:
30 이하의 소수를 나열한다: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 정확히 10개. 9는 $3^2$, 15는 $3 \times 5$, 21은 $3 \times 7$, 25는 $5^2$, 27은 $3^3$, 빨리 떠올리기 좋은 합성수다.

📖 풀이:
$\angle A$와 $\angle B$는 변 $\overline{AB}$의 양 끝각이고, $\angle D$와 $\angle E$는 변 $\overline{DE}$의 양 끝각이다. 즉 끼인 변과 그 양 끝각이 각각 같으므로 ASA(각-변-각) 합동조건을 만족한다.

📖 풀이:
전체 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$. 합이 7인 경우: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$의 6가지. 따라서 확률은 $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. 합이 7은 두 주사위 합 중 가장 가능성이 높은 값이다.

📖 풀이:
$n$칸 계단의 방법 수를 $a_n$이라 하면, 마지막 한 걸음이 1칸이면 $a_{n-1}$, 2칸이면 $a_{n-2}$이므로 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$. $a_1 = 1$, $a_2 = 2$로 시작하여 $a_3 = 3$, $a_4 = 5$, $a_5 = 8$. 따라서 5칸은 8가지. (점화 구조는 피보나치 계열).

📖 풀이:
닮음비가 $a:b$인 두 입체도형에서 길이비는 $a:b$, 겉넓이비는 $a^2:b^2$, 부피비는 $a^3:b^3$이다. $2^3 : 3^3 = 8:27$. 실제로 한 변 2와 3인 정육면체 부피는 $8$과 $27$.

📖 풀이:
끝자리 0의 개수는 $10 = 2 \times 5$의 짝의 개수이고, $100!$의 소인수에서 2가 5보다 훨씬 많으므로 결국 5의 지수가 결정한다. 르장드르 공식으로 $100!$에 들어 있는 소인수 5의 개수는 $\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 20 + 4 + 0 = 24$. 따라서 끝자리 0은 24개.

📖 풀이:
이웃 두 명을 한 묶음으로 본다 (묶음법). A, B를 한 덩어리로 묶으면 [AB], C, D, E의 4개 대상을 일렬로 세우는 방법이 $4! = 24$. 각 경우에 묶음 내부에서 A와 B의 순서가 (A, B) 또는 (B, A)의 $2! = 2$가지. 따라서 $24 \times 2 = 48$가지.

📖 풀이:
$C$의 $x$좌표는 $AB$의 중점이므로 $\dfrac{0+4}{2} = 2$. 정삼각형의 높이 $h$는 한 변 $a$에 대해 $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} a = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}$. 따라서 $C(2,\ 2\sqrt{3})$. 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times \overline{AB} \times h = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

📖 풀이:
$7$의 거듭제곱의 일의 자리는 주기 $4$로 반복된다. $7^1=7$, $7^2=49 \to 9$, $7^3=343 \to 3$, $7^4=2401 \to 1$, $7^5=16807 \to 7$ 로 다시 시작. 따라서 일의 자리는 $(7, 9, 3, 1)$이 순환. $2026 = 4 \times 506 + 2$이므로 $7^{2026}$의 일의 자리는 $7^2$의 일의 자리와 같은 $9$이다.

📖 풀이:
두 삼각형의 세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같으면 SSS 합동조건에 의해 두 삼각형은 합동이다. 세 변의 길이를 정하는 순간 삼각형의 모양과 크기가 유일하게 결정되므로 다른 정보가 필요 없다.