🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
A가 정직하다고 가정하면 "B는 거짓말쟁이"가 참이므로 B는 거짓말쟁이. B의 "같은 부류" 진술은 거짓이어야 하는데 실제로 A와 B는 다른 부류이므로 그 진술이 거짓이 되어 일관됨. 반대로 A가 거짓말쟁이라면 B는 정직해야 하고 B의 "같은 부류" 진술이 참이어야 하지만 실제로는 서로 다른 부류라서 모순. 따라서 A는 정직, B는 거짓말쟁이.

📖 풀이:
첫째항 $a_1 = 3$, 공차 $d = 4$. 일반항 $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$. 따라서 $a_{20} = 4 \times 20 - 1 = 79$.

📖 풀이:
두 삼각형은 두 변($AB = DE = 5$, $BC = EF = 12$)과 그 사이의 끼인각($\angle B = \angle E = 90^\circ$)이 같으므로 SAS 합동이다. 빗변 $AC$는 피타고라스 정리에 의해 $AC = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

📖 풀이:
세 자리 자연수이므로 백의 자리에는 0이 올 수 없다. 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4 중 하나로 4가지. 십의 자리는 백의 자리에 쓰인 숫자를 제외한 4개 중 하나로 4가지(0 사용 가능). 일의 자리는 남은 3개 중 하나로 3가지. 따라서 $4 \times 4 \times 3 = 48$ 가지.

📖 풀이:
각 경우를 검토한다. (1) A만 참인 경우: A의 말에서 B는 거짓 → B의 "C는 거짓"이 거짓 → C는 참. 그런데 C도 참이 되어 모순. (2) B만 참인 경우: B의 말에서 C는 거짓 → C의 "A와 B 모두 거짓"이 거짓 → 적어도 한 명은 참인데 B가 참이므로 만족. A는 거짓이므로 A의 "B는 거짓"이 거짓 → B는 참, 일관됨. (3) C만 참인 경우: C의 말에서 A와 B 모두 거짓이어야 함. A가 거짓이면 "B는 거짓"이 거짓 → B는 참. 모순. 따라서 진실을 말하는 사람은 B.

📖 풀이:
점화식에 따라 차례로 계산한다. $F_1 = 1, F_2 = 1, F_3 = 2, F_4 = 3, F_5 = 5, F_6 = 8, F_7 = 13, F_8 = 21, F_9 = 34, F_{10} = 55$.

📖 풀이:
닮음비가 $m : n$ 인 두 도형의 넓이비는 $m^2 : n^2$ 이다. 따라서 $\triangle ABC : \triangle DEF = 2^2 : 5^2 = 4 : 25$. 비례식 $12 : x = 4 : 25$ 에서 $4x = 12 \times 25 = 300$, $x = 75$. 따라서 $\triangle DEF$의 넓이는 $75 \text{ cm}^2$.

📖 풀이:
"적어도 1명"의 경우는 여사건을 이용한다. 전체 7명에서 3명 뽑는 경우는 $_7C_3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$. 남학생이 한 명도 없는 경우(모두 여학생)는 $_3C_3 = 1$. 따라서 남학생이 적어도 1명 포함되는 경우는 $35 - 1 = 34$.

📖 풀이:
합이 101이 되는 쌍은 $(1, 100), (2, 99), (3, 98), \ldots, (50, 51)$ 로 모두 50쌍이다. 이 50쌍을 50개의 "비둘기집"이라 하자. 각 쌍에서 한 수씩만 뽑으면 50개를 뽑아도 합이 101이 되는 두 수가 생기지 않을 수 있다. 그러나 51개를 뽑으면 비둘기집 원리에 의해 어떤 한 쌍에서 두 수를 모두 뽑게 되어, 그 두 수의 합은 반드시 101이 된다.

📖 풀이:
네 가지 경우를 모두 따져 진실을 말한 사람이 정확히 한 명인 경우를 찾는다. (가) A가 범인: A의 말 거짓(B 아님), B의 말 거짓(D 아님), C의 말 참(C 아님), D의 말 참(B가 거짓이므로). 진실 2명. 부적합. (나) B가 범인: A 참, B의 말 거짓, C 참, D의 말 참(B가 거짓이므로). 진실 3명. 부적합. (다) C가 범인: A 거짓, B 거짓, C의 말 거짓(C가 범인이므로 "나는 아니다"는 거짓), D의 말 참(B가 거짓이므로). 진실 1명. 적합. (라) D가 범인: A 거짓, B 참, C 참, D의 말 거짓(B가 참이므로). 진실 2명. 부적합. 따라서 범인은 C.

📖 풀이:
점화식 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ 의 양변에서 1을 빼면 $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$. 즉 $\{a_n - 1\}$ 은 첫째항 $a_1 - 1 = 1$, 공비 3 인 등비수열이다. 따라서 $a_n - 1 = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$, $a_n = 3^{n-1} + 1$. $a_5 = 3^4 + 1 = 81 + 1 = 82$. 직접 계산해도 $a_2 = 4, a_3 = 10, a_4 = 28, a_5 = 82$.

📖 풀이:
Nim 게임의 필승 조건: 모든 무더기의 돌 개수를 이진수로 표현한 뒤 자리마다 XOR(배타적 논리합)을 계산하여 그 값이 0 이면 "현재 차례 사람이 진다." 0이 아니면 적절한 수로 0을 만들어 상대에게 넘기면 이긴다. $1 = 001_{(2)}$, $3 = 011_{(2)}$, $5 = 101_{(2)}$. XOR: $001 \oplus 011 \oplus 101 = 111_{(2)} = 7$. 0이 아니므로 선수 필승. 0을 만들려면 어느 무더기를 얼마로 줄여야 하는가? 5를 $1 \oplus 3 = 010_{(2)} = 2$ 로 줄이면 $1 \oplus 3 \oplus 2 = 0$. 즉 5개 무더기에서 3개를 가져가 (1, 3, 2)로 만든다. 다른 선택지는 XOR 0을 만들지 못하므로 후수에게 필승 위치를 넘기지 못한다.

📖 풀이:
전체 경우의 수: $6 \times 6 = 36$. 합이 $7$이 되는 순서쌍은 $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$로 $6$가지. 따라서 확률은 $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. 참고로 주사위 두 개 합의 분포에서 $7$이 가장 확률이 높다.

📖 풀이:
포함배제 원리: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. $|A|=5$, $|B|=5$, $A \cap B = \{3,4,5\}$이므로 $|A \cap B| = 3$. 따라서 $|A \cup B| = 5 + 5 - 3 = 7$. 또는 직접 $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7\}$로 세어도 $7$.

📖 풀이:
소인수분해: $24 = 2^3 \times 3$, $36 = 2^2 \times 3^2$. 공통 소인수의 최소 지수 곱: $2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(1,2)} = 2^2 \times 3 = 12$. 유클리드 호제법으로도: $36 = 24 \times 1 + 12$, $24 = 12 \times 2 + 0$이므로 GCD = $12$.

📖 풀이:
$100 = 7 \times 14 + 2$이므로 $100 \equiv 2 \pmod{7}$. 빠른 계산법: $98 = 7 \times 14$이므로 $100 - 98 = 2$가 나머지. 또는 $100 = 7 \times 15 - 5$로도 가능하지만 나머지는 항상 $0$ 이상 $7$ 미만이어야 하므로 $-5 \equiv 2 \pmod{7}$로 환산.

📖 풀이:
전체 공 $8$개에서 $2$개 뽑는 경우: $\binom{8}{2} = 28$. 파란 공 $5$개에서 $2$개 뽑는 경우: $\binom{5}{2} = 10$. 따라서 확률은 $\dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}$. 순차적 방법으로도: $\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14}$ (같은 결과).

📖 풀이:
적어도 하나를 좋아하는 학생 수: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 18 + 14 - 6 = 26$명. 따라서 어느 것도 좋아하지 않는 학생: $30 - 26 = 4$명. 벤다이어그램으로 보면 축구만 $12$명, 농구만 $8$명, 둘 다 $6$명, 바깥 $4$명, 합 $30$명으로 확인 가능.

📖 풀이:
소인수분해: $72 = 2^3 \times 3^2$. 자연수 $N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots$의 양의 약수의 개수는 $(a_1+1)(a_2+1)\cdots$. 따라서 $72$의 약수 개수 = $(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$개. 직접 나열: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$로 총 $12$개.

📖 풀이:
한 번에 최대 $3$개까지 가져갈 수 있으므로 모듈러 $4$가 핵심. 상대에게 돌 개수가 $4$의 배수로 남겨지면 필승: 상대가 $k$개 가져가면 나는 $4-k$개를 가져가서 매 라운드 정확히 $4$개씩 줄어들게 만들 수 있다. $15 \equiv 3 \pmod{4}$이므로 처음에 $3$개를 가져가 $12$개($4$의 배수)를 남긴다. 이후 상대의 수에 맞춰 합이 $4$가 되도록 응수하면 마지막 돌도 내가 가져간다.

📖 풀이:
일의 자리는 $\pmod{10}$. $7$의 거듭제곱 일의 자리 패턴을 찾자: $7^1 = 7$, $7^2 = 49 \to 9$, $7^3 = 343 \to 3$, $7^4 = 2401 \to 1$, $7^5 \to 7$, ... 즉 $7, 9, 3, 1$이 주기 $4$로 반복. $100 = 4 \times 25$이므로 $100 \equiv 0 \pmod{4}$. 주기상 $4$의 배수 자리는 패턴의 $4$번째 ($1$). 따라서 $7^{100}$의 일의 자리는 $1$.

📖 풀이:
전체 경우: $\binom{5}{3} = 10$. 짝수: $\{2, 4\}$ ($2$개), 홀수: $\{1, 3, 5\}$ ($3$개). 세 수의 합이 짝수이려면 홀수의 개수가 짝수 ($0$개 또는 $2$개). 홀수 $0$개: 짝수 $3$개 필요한데 $2$개뿐이라 불가능. 홀수 $2$개 + 짝수 $1$개: $\binom{3}{2} \times \binom{2}{1} = 3 \times 2 = 6$가지. 따라서 확률 = $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.

📖 풀이:
$6$과 $8$의 공배수 = $\text{LCM}(6,8)$의 배수. $6 = 2 \times 3$, $8 = 2^3$이므로 $\text{LCM} = 2^3 \times 3 = 24$. 세 자리 수 범위 $100$ 이상 $999$ 이하에서 $24$의 배수를 세자. 가장 작은 것: $\lceil 100/24 \rceil = 5$, $24 \times 5 = 120$. 가장 큰 것: $\lfloor 999/24 \rfloor = 41$, $24 \times 41 = 984$. 개수 = $41 - 5 + 1 = 37$개.

📖 풀이:
포함배제 원리로 적어도 한 과목 통과한 학생 수를 구한다: $|E \cup M \cup S| = |E| + |M| + |S| - |E \cap M| - |E \cap S| - |M \cap S| + |E \cap M \cap S| = 20 + 18 + 15 - 10 - 8 - 7 + 5 = 53 - 25 + 5 = 33$명. 따라서 한 과목도 통과하지 못한 학생은 $40 - 33 = 7$명.

📖 풀이:
함수의 합성을 차근차근 풀어보자. $f(f(x)) = f(3x - 5) = 3(3x - 5) - 5 = 9x - 15 - 5 = 9x - 20$. 따라서 $9x - 20 = 16$에서 $9x = 36$이므로 $x = 4$이다.