🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
전체 경우의 수는 $\binom{5}{2}=10$. 같은 색인 경우는 (빨강 2개) $\binom{3}{2}=3$ 가지와 (파랑 2개) $\binom{2}{2}=1$ 가지로 합 $4$ 가지. 따라서 확률은 $\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$.

📖 풀이:
A가 거짓말쟁이라고 가정하면 그의 말은 거짓이어야 한다. 그런데 그 말이 거짓이려면 '둘 다 정직'이어야 하므로 A가 정직이 되어 가정과 모순. 따라서 A는 정직이고, 그 말은 참이므로 둘 중 적어도 한 명은 거짓말쟁이다. A는 정직이니 거짓말쟁이는 B다.

📖 풀이:
서랍(달) 12개에 비둘기(학생) 31명을 넣는다. 만약 어느 달도 3명 미만(즉 최대 2명)이라면 학생은 많아야 $12\times2=24$ 명뿐이라 31명을 담을 수 없다. 따라서 적어도 한 달에는 $\left\lceil \dfrac{31}{12}\right\rceil = 3$ 명 이상이 몰린다.

📖 풀이:
같은 호에 대하여 (원주각) $=\dfrac{1}{2}\times$ (중심각) 이 성립한다. 따라서 원주각 $=\dfrac{1}{2}\times 80^\circ = 40^\circ$.

📖 풀이:
$f\circ g$ 는 먼저 $g$ 를 적용한 뒤 $f$ 를 적용한다. $g(2)=2+2=4$. 그 값을 $f$ 에 넣으면 $f(4)=3\times 4-1=11$.

📖 풀이:
$2x=24-3y$ 이므로 우변이 양수이고 짝수여야 한다. $24$ 가 짝수이므로 $3y$ 도 짝수, 즉 $y$ 가 짝수여야 한다. 또 $x>0$ 이려면 $3y<24$, 즉 $y<8$. 따라서 가능한 짝수 $y=2,4,6$. 각각 $x=9,\ x=6,\ x=3$ 으로 모두 양의 정수다. 순서쌍은 $(9,2),(6,4),(3,6)$ 으로 3개.

📖 풀이:
$x$ 절편은 $y=0$ 일 때 $0=2x+4\Rightarrow x=-2$ 이므로 점 $(-2,0)$. $y$ 절편은 $x=0$ 일 때 $y=4$ 이므로 점 $(0,4)$. 이 두 점과 원점이 만드는 직각삼각형의 밑변은 $|-2|=2$, 높이는 $4$ 이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}\times 2\times 4 = 4$.

📖 풀이:
마지막 두 자리는 $100$ 으로 나눈 나머지다. 먼저 $3^{10}=59049$ 이므로 $3^{10}\equiv 49 \pmod{100}$. 그러면 $3^{20}=(3^{10})^2\equiv 49^2 = 2401 \equiv 1 \pmod{100}$. 따라서 $3^{20}\equiv 1$ 이고, $3^{100}=(3^{20})^5 \equiv 1^5 = 1 \pmod{100}$. 마지막 두 자리는 $01$.

📖 풀이:
$|A|<5$ 는 $-5<A<5$ 와 같다. 따라서 $-5<2x-3<5$. 각 변에 $3$ 을 더하면 $-2<2x<8$, 다시 $2$ 로 나누면 $-1<x<4$. 이 범위의 정수는 $x=0,1,2,3$ 으로 4개.

📖 풀이:
사탕 5개를 별 $\star\star\star\star\star$ 로, 세 사람으로 나누는 칸막이를 막대 $|$ 2개로 생각한다(별과 막대 방법). 별 5개와 막대 2개, 총 7자리 중 막대 2자리를 고르면 분배가 결정되므로 $\binom{7}{2}=21$ 가지. 이는 중복조합 $_3\mathrm{H}_5 = \binom{3+5-1}{5}=\binom{7}{5}=21$ 과 같다.

📖 풀이:
평균 $M=\frac{4+6+6+8+11}{5}=\frac{35}{5}=7$. 자료를 크기순으로 놓으면 $4,6,6,8,11$ 이고 가운데(3번째) 값이 중앙값이므로 $m=6$. 따라서 $M-m=7-6=1$.

📖 풀이:
안쪽부터 계산한다. $g(2)=2+3=5$. 그 결과를 $f$에 넣으면 $f(5)=2\cdot5-1=9$.

📖 풀이:
달은 1월부터 12월까지 $12$개(서랍). 12명까지는 각자 다른 달일 수 있어 보장되지 않는다. 그러나 $12+1=13$명이면 비둘기집 원리에 의해 적어도 한 달에 2명 이상이 몰릴 수밖에 없다.

📖 풀이:
$A(2,1)$ 과 $B(6,1)$ 은 $y$좌표가 같아 밑변 $AB=6-2=4$. $B(6,1)$ 과 $C(6,7)$ 은 $x$좌표가 같아 높이 $BC=7-1=6$ 이며 점 $B$에서 직각이다. 넓이 $=\frac{1}{2}\times4\times6=12$.

📖 풀이:
$7$의 거듭제곱의 일의 자리는 $7^1=7,\ 7^2=49(9),\ 7^3=343(3),\ 7^4=2401(1)$ 로 $7,9,3,1$ 이 주기 $4$로 반복된다. $2024=4\times506$ 이므로 $2024\equiv 0 \pmod 4$, 즉 주기의 마지막 값인 $1$ 이다.

📖 풀이:
항을 차례로 구하면 $3,\ 6,\ 12,\ 24$ (각 항에 $2$를 곱함). 합 $=3+6+12+24=45$. (공식으로는 $\frac{3(2^4-1)}{2-1}=3\times15=45$.)

📖 풀이:
님 게임의 승패는 각 무더기 개수의 이진수 배타적합(XOR)으로 정한다. $1 \oplus 2 \oplus 3 = 0$ 이므로 현재 위치는 두는 사람이 지는 'P-위치'다. 즉 선공이 무엇을 해도 후공이 다시 XOR을 $0$으로 만들 수 있어 후공이 필승.

📖 풀이:
$5a+2b=53$ 에서 $2b=53-5a$ 가 $0$ 이상이고 짝수여야 한다. $53-5a$ 가 짝수이려면 $5a$ 가 홀수, 즉 $a$ 가 홀수. $5a\le53$ 이므로 $a\le10$. 따라서 $a=1,3,5,7,9$ 의 $5$가지이며 각각 $b=24,19,14,9,4$ 이다.

📖 풀이:
첫 번째가 빨강일 확률 $\frac{3}{5}$. 빨강 하나를 뺐으므로 남은 $4$개 중 빨강 $2$개, 두 번째도 빨강일 확률 $\frac{2}{4}$. 따라서 $\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.

📖 풀이:
반원(지름)에 대한 원주각은 항상 $90^\circ$ 이다(탈레스 정리). 따라서 $\angle ACB=90^\circ$ 인 직각삼각형이고, 직각을 낀 두 변이 $AC=5$, $BC=12$ 이므로 넓이 $=\frac{1}{2}\times5\times12=30$.

📖 풀이:
규칙(앞 항을 $2$배 한 뒤 $1$을 더함)대로 계산한다. $a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=7,\ a_4=15,\ a_5=31,\ a_6=63$. (일반항은 $a_n=2^n-1$ 이다.)

📖 풀이:
$k$번 사물함은 $k$의 약수 번호 학생마다 한 번씩 상태가 바뀐다. 처음이 '닫힘'이므로 약수의 개수가 홀수일 때만 최종적으로 '열림'이 된다. 약수의 개수가 홀수인 수는 완전제곱수뿐이다. $1$부터 $100$까지 완전제곱수는 $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$ 으로 $10$개.

📖 풀이:
$x$절편은 $y=0$ 일 때 $0=-2x+8 \Rightarrow x=4$, 즉 $(4,0)$. $y$절편은 $x=0$ 일 때 $y=8$, 즉 $(0,8)$. 원점에서 직각인 삼각형이므로 넓이 $=\frac{1}{2}\times4\times8=16$.

📖 풀이:
만약 A가 정직한 사람이라면 그의 말 "둘 다 거짓말쟁이"가 참이어야 하는데, 그러면 A 자신도 거짓말쟁이가 되어 모순이다. 따라서 A는 거짓말쟁이이고, 그의 말은 거짓이다. "둘 다 거짓말쟁이"가 거짓이라는 것은 적어도 한 명은 정직하다는 뜻인데, A는 이미 거짓말쟁이이므로 B가 정직한 사람이어야 한다.

📖 풀이:
등차수열의 부분합 공식 $S_n=\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$를 쓴다. $a=3,\ d=4,\ n=10$이므로 $S_{10}=\frac{10}{2}\{2\cdot3+9\cdot4\}=5(6+36)=5\cdot42=210$.