🧠 중등 논리·추론

📖 풀이:
$\angle B=90^\circ$이므로 $AB$와 $BC$가 직각을 낀 두 변(밑변·높이)이다. 넓이 $=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24$. 두 삼각형은 SAS로 합동이므로 $\triangle DEF$의 넓이도 같다.

📖 풀이:
악수는 두 사람을 짝지어 한 번 세는 것이므로 순서가 없는 조합이다. $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28$.

📖 풀이:
소인수분해하면 $48=2^4\cdot3$, $60=2^2\cdot3\cdot5$. LCM은 각 소인수의 '최대 지수'를 택한다: $2^4\cdot3\cdot5=16\cdot15=240$. (참고로 GCD$=2^2\cdot3=12$이고 $\text{GCD}\times\text{LCM}=12\cdot240=2880=48\cdot60$.)

📖 풀이:
$7$의 거듭제곱의 일의 자리는 $7^1=7,\ 7^2=49\to9,\ 7^3=\dots3,\ 7^4=\dots1$ 로 $7,9,3,1$이 주기 $4$로 반복된다. $2024=4\times506$이므로 $2024\equiv0\pmod4$, 즉 주기의 네 번째 자리에 해당해 일의 자리는 $1$이다.

📖 풀이:
$3$의 배수는 $3,6,9,12,15,18$로 $6$개, $5$의 배수는 $5,10,15,20$으로 $4$개, 둘 다인 $15$의 배수는 $15$ 하나뿐이다. 포함·배제로 $6+4-1=9$개. 따라서 확률은 $\frac{9}{20}$.

📖 풀이:
달은 $12$개(서랍), 사람은 비둘기다. $12$명이면 모두 다른 달일 수도 있어 보장되지 않지만, $13$명이면 비둘기집 원리에 의해 어떤 달에는 반드시 $2$명 이상이 배정된다. 따라서 $13$명.

📖 풀이:
수학 또는 과학을 좋아하는 학생 수(합집합)는 포함·배제로 $18+14-8=24$명. 따라서 둘 다 좋아하지 않는 학생은 $30-24=6$명이다.

📖 풀이:
직선의 식을 $y=-2x+b$로 두고 점 $(2,5)$를 대입하면 $5=-2\cdot2+b=-4+b$, 따라서 $b=9$. $y$절편은 직선이 $y$축($x=0$)과 만나는 값이므로 $9$.

📖 풀이:
마지막 돌을 잡으면 지므로, 상대에게 '돌 $1$개'만 남기면 상대가 어쩔 수 없이 마지막 돌을 잡고 진다. 분석하면 남은 돌이 $4$로 나눈 나머지가 $1$인 위치($1,5,9,\dots$)에 놓인 사람이 진다. $21=4\times5+1$이므로 $21\equiv1\pmod4$. 선공이 이 패배 위치에서 시작하므로, 후공이 매번 합이 $4$가 되도록 맞춰 가면 후공이 이긴다.

📖 풀이:
평균 $=\frac{5+7+7+9+12}{5}=\frac{40}{5}=8$. 자료를 크기순으로 늘어놓으면 가운데(세 번째) 값이 중앙값이므로 $7$. 가장 자주 나온 값(최빈값)은 두 번 나온 $7$이다.

📖 풀이:
$x=\frac{30-5y}{3}$ 이 음이 아닌 정수가 되어야 한다. $30-5y\ge0$ 에서 $y\le6$. 또 $30-5y$가 $3$의 배수여야 하는데 $30\equiv0,\ 5y\equiv2y\pmod3$ 이므로 $2y\equiv0\pmod3$, 즉 $y$가 $3$의 배수다. $y\in\{0,3,6\}$ 이고 각각 $x=10,5,0$. 따라서 해는 $3$개.

📖 풀이:
조건부확률(베이즈). 빨강을 뽑을 확률은 상자1에서 $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{10}$, 상자2에서 $\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{10}$. 빨강이 나왔다는 조건에서 상자2일 확률은 $\dfrac{\frac{4}{10}}{\frac{2}{10}+\frac{4}{10}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.

📖 풀이:
짝수이므로 일의 자리는 $0,2,4$ 중 하나다. (i) 일의 자리가 $0$: 백의 자리 $4$가지, 십의 자리 남은 $3$가지 → $12$개. (ii) 일의 자리가 $2$: 백의 자리는 $0$과 $2$를 뺀 $3$가지, 십의 자리 $3$가지 → $9$개. (iii) 일의 자리가 $4$: 같은 방식으로 $9$개. 합 $12+9+9=30$.

📖 풀이:
점 $P$와 세 꼭짓점을 이으면 정삼각형이 세 개의 작은 삼각형으로 나뉜다. 각 작은 삼각형의 밑변은 모두 $1$이고 높이가 $d_1,d_2,d_3$이므로 넓이의 합은 $\frac{1}{2}\cdot1\cdot(d_1+d_2+d_3)$. 이것이 정삼각형 전체 넓이 $\frac{\sqrt{3}}{4}$와 같으므로 $d_1+d_2+d_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 즉 정삼각형의 높이와 같다.

📖 풀이:
A가 기사라면 "같은 종류"가 참이므로 B도 기사여야 한다. 그러나 그러면 B의 말 "다른 종류"가 참이 되어 둘이 다른 종류가 되니 모순이다. 따라서 A는 거짓말쟁이다. A의 말 "같은 종류"는 거짓이므로 둘은 서로 다른 종류이고, 따라서 B는 기사다. 실제로 B의 말 "다른 종류"는 참이 되어 모순이 없다.

📖 풀이:
각 자리의 자릿값은 오른쪽부터 $2^0,2^1,2^2,2^3$이다. $1101_{(2)}=1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=8+4+0+1=13$.

📖 풀이:
두 점 사이의 거리는 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$이다. $\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

📖 풀이:
$|2x-3|<5$ 는 $-5<2x-3<5$ 와 같다. 각 변에 $3$을 더하면 $-2<2x<8$, 다시 $2$로 나누면 $-1<x<4$. 이 범위의 정수는 $0,1,2,3$ 으로 모두 $4$개다.

📖 풀이:
세 종류에서 중복을 허용해 $5$개를 고르는 중복조합이다. 각 종류의 개수를 $a+b+c=5$($a,b,c\ge0$ 정수)의 음이 아닌 정수해의 개수로 셀 수 있고, 이는 $\binom{5+3-1}{5}=\binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21$ 이다.

📖 풀이:
피타고라스 정리로 빗변 $=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$. 넓이는 직각을 낀 두 변을 밑변과 높이로 보아 $\dfrac{1}{2}\times9\times12=54$.

📖 풀이:
일반 Nim에서는 각 무더기 크기를 이진수로 나타내 자리별 XOR(배타적 합)을 구한다. $2\oplus4\oplus6$ 을 계산하면 $010\oplus100\oplus110=000$, 즉 XOR이 $0$이다. XOR이 $0$인 상태는 '지는 자리(선공 패)'이므로, 후공이 항상 대응 수로 XOR을 다시 $0$으로 만들 수 있어 후공이 이긴다.

📖 풀이:
$5x=47-3y$ 가 양수이면서 $5$의 배수여야 한다. $47\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 5)$, $3y\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 5)$ 에서 $y\equiv4\ (\mathrm{mod}\ 5)$. $y=4$일 때 $x=\dfrac{47-12}{5}=7$, $y=9$일 때 $x=\dfrac{47-27}{5}=4$, $y=14$일 때 $x=\dfrac{47-42}{5}=1$. $y=19$이면 $5x<0$이라 불가. 따라서 $(7,4),(4,9),(1,14)$ 의 $3$개다.

📖 풀이:
A가 거짓말쟁이라고 가정하면, A의 말 "적어도 한 명은 거짓말쟁이"는 거짓이어야 한다. 그러려면 두 사람 모두 거짓말쟁이가 아니어야(둘 다 기사) 하는데, 이는 A가 거짓말쟁이라는 가정과 모순이다. 따라서 A는 기사이고, A의 말은 참이다. 즉 둘 중 적어도 한 명은 거짓말쟁이인데 A는 기사이므로 B가 거짓말쟁이다.

📖 풀이:
점화식에 차례로 대입한다. $a_1 = 3$, $a_2 = 2\cdot 3 - 1 = 5$, $a_3 = 2\cdot 5 - 1 = 9$, $a_4 = 2\cdot 9 - 1 = 17$. (일반항은 $a_n = 2^n + 1$이며, $a_4 = 16 + 1 = 17$로 확인된다.)

📖 풀이:
둘 다 좋아하지 않는 학생이 $5$명이므로 적어도 하나를 좋아하는 학생은 $30 - 5 = 25$명이다. 포함·배제 원리에서 $|수학 \cup 과학| = |수학| + |과학| - |수학 \cap 과학|$ 이므로 $25 = 18 + 15 - x$. 따라서 $x = 33 - 25 = 8$. 모두 좋아하는 학생은 $8$명이다.