🧠 초5-6 논리 퍼즐

📖 풀이:
최악의 경우를 생각한다. $4$ 짝을 꺼냈을 때 운이 나쁘면 빨, 파, 초, 노 각각 한 짝씩이라 한 켤레도 못 만든다. 한 짝을 더 꺼내면(총 $5$ 짝) 비둘기집 원리에 의해 적어도 한 색은 두 짝이 되어 한 켤레가 완성된다.

📖 풀이:
추를 한쪽에만 두면 더하기만 가능($+$)하지만, 양쪽에 둘 수 있으면 빼기도 가능($-$)하다. 즉 각 추의 계수가 $-1, 0, +1$ 세 가지가 되어 $3$ 진법처럼 표현된다. $4$ 개의 추로 $3^4 = 81$ 가지 조합이 만들어지고, 그중 무게 $0$ 을 빼고 양수 무게 절반은 $1$ g부터 $1+3+9+27 = 40$ g까지 모두 표현할 수 있다.

📖 풀이:
단계별로:
1. 자녀1+자녀2 건너감 ($\rightarrow$)
2. 자녀1 돌아옴 ($\leftarrow$)
3. 어른1 건너감 ($\rightarrow$)
4. 자녀2 돌아옴 ($\leftarrow$)
5. 자녀1+자녀2 건너감 ($\rightarrow$)
6. 자녀1 돌아옴 ($\leftarrow$)
7. 어른2 건너감 ($\rightarrow$)
8. 자녀2 돌아옴 ($\leftarrow$)
9. 자녀1+자녀2 건너감 ($\rightarrow$)
총 $9$ 회.

📖 풀이:
단서 1과 2에서 나은은 $5$ 학년 강아지, 가람은 $4$ 학년. 남은 학년은 $3$ 과 $6$ 으로 다온과 라엘에게 배정. 단서 4에서 다온 > 라엘이므로 다온 = $6$ 학년, 라엘 = $3$ 학년. 단서 3에서 거북이는 $6$ 학년 → 다온이 거북이. 가람은 햄스터가 아니고 강아지·거북이도 아니므로 고양이. 라엘은 남은 햄스터.

📖 풀이:
이웃한 두 수의 차를 적어 보면 $2, 4, 6, 8, 10$ 으로 $2$ 씩 늘어난다. 다음 차는 $12$. 따라서 다음 수는 $31 + 12 = 43$. (참고: 일반항은 $n(n-1)+1$ 꼴이다.)

📖 풀이:
강물의 흐름과 함께 움직이는 좌표계(강물 기준)에서 보면 모자는 정지해 있고, 배는 강물에 대한 자체 속력으로만 움직인다. 배는 $10$ 분 동안 모자에서 멀어진 뒤 같은 속력으로 돌아오므로 다시 만나는 데 똑같이 $10$ 분 걸린다. 합쳐서 $10 + 10 = 20$ 분.

📖 풀이:
한 사람당 자기를 뺀 $7$ 명과 악수하므로 사람마다 $7$ 번. $8$ 명이므로 $8 \times 7 = 56$ 번 같지만, 모든 악수는 두 명이 한 번씩 세어 두 번 중복된다. 따라서 $\frac{8 \times 7}{2} = 28$ 번. (이는 $8$ 명에서 $2$ 명을 뽑는 조합 $\binom{8}{2} = 28$ 과 같다.)

📖 풀이:
① 농부+닭 건너기, ② 농부만 돌아오기, ③ 농부+여우 건너기, ④ 농부+닭 다시 돌아오기, ⑤ 농부+옥수수 건너기, ⑥ 농부만 돌아오기, ⑦ 농부+닭 건너기. 총 7번이다. 핵심은 닭을 한 번 다시 데려오는 것이다.

📖 풀이:
십자형 전개도를 접으면 가로 한 줄(라-가-마-바)이 옆면의 띠가 된다. 띠 위의 두 면은 서로 마주보지 않고 한 칸 건너뛴 면끼리 마주본다. 따라서 라와 마가 마주보고, 가와 바가 마주본다. 또한 '나'와 '다'는 천장과 바닥이 되어 서로 마주본다.

📖 풀이:
가정해서 따져보자. (1) A가 진실이라면: B는 거짓말쟁이이므로 'C는 거짓말쟁이'는 거짓 즉 C는 진실. 그러나 진실은 한 명뿐이라 모순. (2) C가 진실이라면: 'A와 B 둘 다 거짓'이 참. A가 거짓이라면 B는 진실이 되어 다시 모순. (3) B가 진실인 경우: A는 거짓이라 'B는 거짓말쟁이'가 거짓 ✓, C는 거짓이라 'A와 B 둘 다 거짓'이 거짓인데 B가 진실이므로 옳다. 따라서 답은 B.

📖 풀이:
양말 색은 2가지(검정, 흰색)이다. 2짝만 꺼내면 (검,흰) 한 짝씩이 나올 수도 있다. 그러나 3짝을 꺼내면 비둘기집 원리에 의해 2가지 색 중 적어도 한 색은 2짝 이상이 된다. 따라서 최소 3짝이면 같은 색 한 켤레가 보장된다.

📖 풀이:
A와 B를 한 묶음 (AB)로 보고, 묶음과 C, D 세 덩어리를 일렬로 배치하는 경우의 수는 $3! = 6$이다. 그리고 묶음 안에서 A, B의 순서를 바꾸는 경우가 2가지(AB 또는 BA)이다. 따라서 전체 경우의 수는 $6 \times 2 = 12$가지이다.

📖 풀이:
$2\times2\times2$ 큐브에서는 모든 작은 정육면체가 큰 큐브의 '모서리' 위치에 있다. 따라서 각 작은 정육면체마다 외부와 닿는 면이 정확히 3개씩이고, 그 3면이 모두 빨갛게 칠해진다. 그러므로 정확히 3면이 빨간 작은 정육면체는 8개 전부이다.

📖 풀이:
AB는 $y=0$ 위에 있고 길이 $8-0=8$, DC는 $y=5$ 위에 있고 길이 $6-2=4$이다. 두 변이 평행하므로 사다리꼴이고 높이는 $5$이다. 사다리꼴 넓이 공식 $\frac{(\text{윗변}+\text{아랫변}) \times \text{높이}}{2}$을 쓰면 $\frac{(8+4) \times 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$이다.

📖 풀이:
핵심은 가장 느린 두 명(다, 라)을 한꺼번에 건너게 하는 것이다. ① 가+나 함께 건너기: 2분 (왼쪽에 다, 라 / 오른쪽에 가, 나). ② 가 손전등 들고 돌아오기: 1분. ③ 다+라 함께 건너기: 10분 (오른쪽에 나, 다, 라). ④ 나 손전등 들고 돌아오기: 2분. ⑤ 가+나 함께 건너기: 2분. 합계 $2+1+10+2+2 = 17$분.

📖 풀이:
이웃한 두 항의 차를 구하면 $6-2=4$, $12-6=6$, $20-12=8$, $30-20=10$이다. 즉 차이가 $4, 6, 8, 10, \ldots$ 으로 2씩 늘어나고 있다. 따라서 30 다음 차이는 $12$이므로 $\square = 30+12 = 42$. 검산: $42+14=56$ ✓. (이 수열의 일반항은 $n$번째 항이 $n(n+1)$, 즉 '두 연속한 수의 곱'이다.)

📖 풀이:
1부터 12까지의 수 중 3의 배수는 $3, 6, 9, 12$로 총 4개이다. 전체 카드는 12장이므로 확률은 $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$이다.

📖 풀이:
먼저 A가 정직하다고 가정해 보자. 그러면 A의 말이 진실이므로 'A와 B 둘 다 거짓말쟁이'가 참이 되어 A는 거짓말쟁이가 된다. 이는 가정에 모순이다. 따라서 A는 거짓말쟁이다. 그러면 A의 말은 거짓이므로 '둘 다 거짓말쟁이'는 거짓이고, 적어도 한 명은 정직하다. A가 거짓말쟁이이므로 B가 정직한 사람이다.

📖 풀이:
비둘기집 원리. 색은 빨강, 파랑, 노랑 3가지뿐이다. 운이 나쁘면 처음 꺼낸 3짝이 모두 다른 색일 수 있다(빨강 1, 파랑 1, 노랑 1). 하지만 $4$번째 양말은 색이 무엇이든 이미 꺼낸 3가지 색 중 하나와 반드시 같다. 따라서 $4$짝을 꺼내면 같은 색 한 쌍을 확실히 얻을 수 있다.

📖 풀이:
형이 먼저 출발해 $10$분($\frac{1}{6}$ 시간) 동안 간 거리는 $4 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ km이다. 동생은 형보다 시속 $6 - 4 = 2$ km 더 빠르므로, 둘 사이의 거리 $\frac{2}{3}$ km를 좁히는 데 걸리는 시간은 $\frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}$ 시간 = $20$분이다.

📖 풀이:
단서 ③에서 B=고양이. 단서 ②와 ⑤에서 강아지=파랑, 토끼=노랑이므로 남은 고양이=빨강. 따라서 B=빨간 모자. 단서 ④에서 C는 노란 모자가 아니므로 C는 토끼(=노랑)도 아니다. 그러므로 C=강아지=파란 모자, A=토끼=노란 모자. 강아지를 키우는 사람은 C이고 모자 색은 파랑이다.

📖 풀이:
가로 일렬로 붙은 네 면 [1][2][3][4]는 접었을 때 정육면체를 빙 두르는 띠가 된다. 띠를 이루는 4면 중에서 서로 마주보는 면은 두 칸 떨어진 면이다. 따라서 [1]의 맞은편은 [3]이고, [2]의 맞은편은 [4]이다. 윗면 [5]와 아랫면 [6]이 서로 마주본다.

📖 풀이:
$5$장에서 $2$장을 뽑는 전체 경우의 수는 $\binom{5}{2} = 10$가지. 두 수의 합이 짝수가 되려면 (짝수, 짝수) 또는 (홀수, 홀수)여야 한다. 짝수 카드는 $2, 4$로 $2$장이므로 둘을 뽑는 경우는 $\binom{2}{2} = 1$가지. 홀수 카드는 $1, 3, 5$로 $3$장이므로 둘을 뽑는 경우는 $\binom{3}{2} = 3$가지. 합이 짝수인 경우의 수는 $1 + 3 = 4$가지이고, 확률은 $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

📖 풀이:
1회: $12$개를 $4$ - $4$로 나눠 양팔저울에 올린다. 무거운 쪽 $4$개에 가짜가 있다. (만약 평형이면 측정 안 한 $4$개에 가짜가 있다.) 어느 경우든 후보가 $4$개로 좁혀진다.
2회: 후보 $4$개를 $2$ - $2$로 나눠 측정한다. 무거운 쪽 $2$개가 새 후보.
3회: 남은 $2$개를 $1$ - $1$로 측정한다. 무거운 쪽이 가짜 동전.
따라서 $3$회면 충분하다.

📖 풀이:
제약이 없다면 코디는 $4 \times 3 \times 2 = 24$가지. 상의와 하의가 같은 색이 되는 경우는 (빨강 상의 - 빨강 하의), (파랑 상의 - 파랑 하의) 두 가지다. 각각에 대해 모자는 $2$가지를 쓸 수 있으므로 금지되는 코디는 $2 \times 2 = 4$가지. 따라서 가능한 코디는 $24 - 4 = 20$가지.