🧠 초5-6 논리 퍼즐

📖 풀이:
비둘기집 원리: 비둘기 수가 둥지 수보다 많으면, 적어도 한 둥지에는 비둘기가 2마리 이상 들어간다.

학생 $367$명을 1년 최대 $366$개의 '생일 둥지'에 넣으면, $367 > 366$이므로 적어도 한 날(둥지)에는 2명 이상의 학생이 들어간다. 즉, 생일이 같은 학생이 **적어도 2명** 존재한다.

(주의: 정확히 2명인지, 더 많은지는 알 수 없지만 '적어도 2명'은 반드시 보장됨.)

📖 풀이:
한 어른을 건너게 하려면, 어린이들이 보트를 가져왔다가 어른이 혼자 가고, 다시 어린이가 돌아와야 한다. 어른 1명을 옮기는 데 4번의 편도가 필요하다.

순서 (어른 A, B / 어린이 c, d):
1. c, d 건너감 (1)
2. c 돌아옴 (2)
3. A 건너감 (3)
4. d 돌아옴 (4)
5. c, d 건너감 (5)
6. c 돌아옴 (6)
7. B 건너감 (7)
8. d 돌아옴 (8)
9. c, d 건너감 (9)

총 **9번** 편도 이동.

📖 풀이:
반대 방향으로 걸으므로 두 사람 사이의 거리는 매 시간 $4 + 6 = 10$ km씩 벌어진다.

걸리는 시간 $= \dfrac{25}{10} = 2.5$ 시간 $= 2$ 시간 $30$ 분.

📖 풀이:
마주 보는 면끼리 합이 $7$이라는 규칙을 각각 적용한다.

- 위 면 $1$과 마주 보는 **아래 면 $= 7 - 1 = 6$**
- 앞 면 $2$와 마주 보는 **뒤 면 $= 7 - 2 = 5$**
- 오른쪽 면 $3$과 마주 보는 **왼쪽 면 $= 7 - 3 = 4$**

📖 풀이:
**1차 측정**: 동전 8개를 (3, 3, 2)로 나눈다. 3개씩 양쪽 접시에 올린다.

- **균형** → 가짜는 올리지 않은 나머지 2개 중에 있음.
- **한쪽이 무거움** → 가짜는 그 무거운 3개 중에 있음.

**2차 측정**:
- (균형이었던 경우) 남은 2개를 1대1로 비교 → 무거운 쪽이 가짜.
- (한쪽이 무거웠던 경우) 그 3개 중 아무 2개를 1대1로 비교. 균형이면 비교 안 한 1개가 가짜, 한쪽이 무거우면 그쪽이 가짜.

어느 경우든 **2회 측정**으로 반드시 찾을 수 있다.

📖 풀이:
동전을 3번 던질 때 일어날 수 있는 모든 경우는 $2 \times 2 \times 2 = 8$가지이다. (앞=H, 뒤=T)

8가지: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

이 중 앞면이 정확히 2번 나오는 경우는 HHT, HTH, THH의 **3가지**.

따라서 확률은 $\dfrac{3}{8}$.

📖 풀이:
한 사람이 자기를 제외한 나머지 $9$명과 악수하므로, 모든 사람의 악수 횟수의 합은 $10 \times 9 = 90$이다.

그런데 한 번의 악수에는 **두 사람**이 관여하므로, 같은 악수가 두 번 세진 셈이다. 따라서 실제 악수 횟수는

$$\dfrac{10 \times 9}{2} = 45 \text{ 번}$$

이는 $10$명 중 $2$명을 뽑는 조합 $\binom{10}{2} = 45$와 같다.

📖 풀이:
세 점을 모두 감싸는 가장 작은 직사각형을 그린다. 가로 범위 $1 \le x \le 5$, 세로 범위 $1 \le y \le 6$.

**직사각형의 넓이** $= 4 \times 5 = 20$.

직사각형에서 삼각형 $ABC$가 아닌 부분은 직각삼각형 3개:
- $\triangle$ 1: $A(1,1), B(5,2), (5,1)$. 밑변 $4$, 높이 $1$ → 넓이 $\dfrac{4 \times 1}{2} = 2$
- $\triangle$ 2: $B(5,2), C(3,6), (5,6)$. 밑변 $2$, 높이 $4$ → 넓이 $\dfrac{2 \times 4}{2} = 4$
- $\triangle$ 3: $A(1,1), C(3,6), (1,6)$. 밑변 $5$, 높이 $2$ → 넓이 $\dfrac{5 \times 2}{2} = 5$

삼각형 $ABC$의 넓이 $= 20 - 2 - 4 - 5 = \mathbf{9}$.

📖 풀이:
이웃한 항의 차이를 살펴보자.

$6 - 2 = 4$
$12 - 6 = 6$
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$

차이가 $4, 6, 8, 10, \ldots$ 으로 $2$씩 늘어난다. 따라서 다음 차이는 $12, 14$.

- 6번째 항: $30 + 12 = \mathbf{42}$
- 7번째 항: $42 + 14 = \mathbf{56}$

참고로 이 수열은 $n$번째 항이 $n \times (n+1)$이다:
$1 \times 2 = 2, \ 2 \times 3 = 6, \ 3 \times 4 = 12, \ldots, \ 6 \times 7 = 42, \ 7 \times 8 = 56$.

📖 풀이:
이 수열은 '보고 말하기(look and say)' 수열이다. 앞의 수를 보고 "숫자가 몇 개"인지 차례로 읽으면 다음 수가 된다.

- $1$ → '$1$이 한 개' → $11$
- $11$ → '$1$이 두 개' → $21$
- $21$ → '$2$가 한 개, $1$이 한 개' → $1211$
- $1211$ → '$1$이 한 개, $2$가 한 개, $1$이 두 개' → $111221$
- $111221$ → '$1$이 세 개, $2$가 두 개, $1$이 한 개' → $\mathbf{312211}$

📖 풀이:
각 경우를 따져 보자.
- A가 깼다면: A(거짓), B(진실), C(진실), D(거짓) → 진실 2명.
- B가 깼다면: A(진실), B(거짓), C(진실), D(진실) → 진실 3명.
- C가 깼다면: A(거짓), B(진실), C(거짓), D(거짓) → 진실 1명 ✓
- D가 깼다면: A(거짓), B(진실), C(진실), D(거짓) → 진실 2명.
진실이 1명인 경우는 C가 깬 경우뿐이다.

📖 풀이:
면 2를 바닥으로 두고 접으면:
- 면 1은 왼쪽 벽, 면 3은 오른쪽 벽, 면 4는 윗면이 된다.
- 면 5는 뒤쪽 벽, 면 6은 앞쪽 벽이 된다.
따라서 마주보는 면 쌍은 (2, 4), (1, 3), (5, 6)이다.
면 3과 마주보는 면은 1이다.

📖 풀이:
한 가지 풀이를 적어 보자. 왼→오는 →, 오→왼은 ←, 선=선교사, 식=식인종.
1) 식식 → 2) 식 ← 3) 식식 → 4) 식 ←
5) 선선 → 6) 선식 ← 7) 선선 → 8) 식 ←
9) 식식 → 10) 식 ← 11) 식식 →
매 단계마다 양쪽 강가에서 선≥식(또는 선=0)을 유지해야 한다. 이렇게 하면 총 11번 이동으로 모두 건널 수 있고, 더 줄일 수는 없다.

📖 풀이:
영희의 속력 $= 100 \div 80 = 1.25$ m/s.
철수의 속력 $= 100 \div 100 = 1$ m/s.
영희가 철수보다 100m 앞서려면, 두 사람의 거리 차이가 100m가 되어야 한다.
시간 $= \dfrac{100}{1.25 - 1} = \dfrac{100}{0.25} = 400$초.
따라서 출발 후 400초가 지난 순간이다.

📖 풀이:
3시 정각에 분침은 0°, 시침은 90° 위치이다. 분침은 시침보다 1분에 $6 - 0.5 = 5.5°$ 더 빨리 움직인다.
분침이 시침을 90° 따라잡는 데 걸리는 시간:
$t = \dfrac{90}{5.5} = \dfrac{180}{11}$분 $\approx 16.36$분.
$0.36 \times 60 \approx 21.8$초이므로 약 3시 16분 22초이다.

📖 풀이:
각 수를 살펴보자.
$1 = 1^2,\ 4 = 2^2,\ 9 = 3^2,\ 16 = 4^2,\ 25 = 5^2$.
즉 $n$번째 항은 $n^2$이므로 6번째 항은 $6^2 = 36$이다.

📖 풀이:
점 A(1, 1)과 B(7, 1)은 $y$좌표가 같으므로 밑변 AB의 길이는 $7 - 1 = 6$.
점 C(4, 5)에서 직선 AB(즉 $y = 1$)까지의 거리(높이)는 $5 - 1 = 4$.
삼각형의 넓이 $= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$.

📖 풀이:
단서 (2)에서 민수=파랑. 단서 (3)에서 화가=노랑이므로 민수는 화가가 아니다.
단서 (4)에서 영희도 화가가 아니므로, 화가는 지훈이다. 그래서 지훈=화가=노랑.
남은 색은 빨강 → 영희=빨강.
단서 (1)에서 의사는 빨강을 좋아하지 않으므로 영희는 의사가 아니다. 남은 직업 중 영희=교사, 민수=의사.
따라서 영희는 교사이고 빨강을 좋아한다.

📖 풀이:
9개를 3개씩 세 묶음 A, B, C로 나눈다.
[1차 측정] A와 B를 양팔저울 양쪽에 올린다.
- 균형이 맞으면 → 무거운 동전은 C 안에.
- 한쪽이 기울면 → 무거운 동전은 기운 쪽 묶음 안에.
어느 경우든 후보가 3개로 줄어든다.
[2차 측정] 후보 3개 중 2개를 양쪽에 올리고 1개는 따로 둔다.
- 균형이 맞으면 → 따로 둔 동전이 가짜.
- 한쪽이 기울면 → 기운 쪽 동전이 가짜.
따라서 2번이면 충분하다. (1번으로는 어느 묶음인지까지밖에 알 수 없다.)

📖 풀이:
첫 자리에는 4가지, 둘째 자리에는 남은 3가지, 셋째 자리에는 2가지, 넷째 자리에는 1가지가 올 수 있다.
$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$가지.
이를 $4!$ ('4 팩토리얼'이라고 읽음)이라고 한다.

📖 풀이:
'곱이 짝수'를 직접 세는 것보다 '곱이 홀수'를 먼저 구하는 게 쉽다.
두 수의 곱이 홀수가 되려면 두 수 모두 홀수여야 한다.
주사위 한 번에 홀수(1, 3, 5)가 나올 확률은 $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
두 번 모두 홀수일 확률 $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.
따라서 곱이 짝수일 확률 $= 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.

📖 풀이:
12개의 달을 '비둘기집', 25명의 학생을 '비둘기'라고 생각한다.
만약 모든 달에 학생이 2명 이하라면, 학생 수는 최대 $12 \times 2 = 24$명까지밖에 안 된다.
그런데 학생은 25명이므로, 적어도 한 달은 학생이 3명 이상이어야 한다.
식으로는 $\lceil 25 \div 12 \rceil = 3$.

📖 풀이:
A가 정직(진실만 말함)하다고 가정하고 차례로 따져 보자.
- A 정직 → A의 말 'B는 거짓말쟁이'가 참 → B는 거짓말쟁이.
- B 거짓말쟁이 → B의 말 'C는 거짓말쟁이'는 거짓 → C는 정직.
- C 정직 → C의 말 'D는 거짓말쟁이'가 참 → D는 거짓말쟁이.
- D 거짓말쟁이 → D의 말 'A와 B는 둘 다 거짓말쟁이'는 거짓 → A와 B가 모두 거짓말쟁이는 아님. A가 정직하므로 모순이 없다 ✓.
정리하면 정직: A, C / 거짓말쟁이: B, D 로 정확히 2명씩 조건을 만족한다.
반대로 A가 거짓말쟁이라고 가정하면: A 거짓 → 'B는 거짓말쟁이'가 거짓 → B는 정직 → B의 말 'C는 거짓말쟁이'가 참 → C는 거짓말쟁이 → C의 말 'D는 거짓말쟁이'는 거짓 → D는 정직 → D의 말 'A와 B는 둘 다 거짓말쟁이'가 참이어야 하는데 B가 정직이라 모순. 따라서 이 경우는 불가능하다.
그러므로 진실을 말하는 두 사람은 A와 C이다.

📖 풀이:
단서 4: 다 = 강아지. 단서 1: 가 ≠ 토끼 → 가 = 고양이, 나 = 토끼. 단서 3: 고양이 키우는 사람은 초콜릿 → 가 = 초콜릿. 단서 2: 나 = 쿠키. 남은 다 = 사탕.

📖 풀이:
운이 가장 나쁠 때를 생각해. 5개를 꺼냈는데 모두 다른 색일 수 있어(빨1, 파1, 노1, 초1, 보1). 하지만 6번째 구슬은 5색 중 하나일 수밖에 없으니, 반드시 어떤 색과 짝을 이뤄. 비둘기집 원리: 5개 둥지(색)에 6마리 비둘기(구슬)를 넣으면 반드시 2마리 이상 들어있는 둥지가 생겨.