📝 중1 수학 심화 (10/10)

Q226원·부채꼴 심화★★

중심이 같은 두 부채꼴이 있다. 작은 부채꼴은 반지름 3cm, 큰 부채꼴은 반지름 5cm이며, 두 부채꼴의 중심각은 모두 144°이다. 두 부채꼴 사이(고리 모양 부채꼴)의 넓이는?

① 16π/5

② 28π/5

③ 32π/5

④ 8π

Q227원·부채꼴 심화★★★

한 변의 길이가 8cm인 정사각형 ABCD에서, A를 중심으로 반지름 8인 사분원(꼭짓점 B에서 D까지 호)과, C를 중심으로 반지름 8인 사분원(꼭짓점 B에서 D까지 호)을 그렸다. 정사각형 내부에서 두 사분원이 겹치는 부분(렌즈 모양)의 넓이는?

① 32π - 64

② 16π - 32

③ 64 - 16π

④ 32π

Q228입체 추론★★★

밑면의 반지름이 5cm, 모선의 길이가 15cm인 원뿔의 옆면(곡면)을 평면 위에 펼치면 부채꼴이 된다. 이 부채꼴의 중심각의 크기는?

① 90°

② 108°

③ 120°

④ 135°

Q229좌표평면 응용★★★

좌표평면 위 두 점 A(0,0), B(6,0)이 있다. 직선 y = x + 2 위의 점 P에 대해 삼각형 ABP의 넓이가 12일 때, 점 P의 좌표를 모두 구하시오.

직접 채점:

Q230자료·경시 퍼즐★★★

1부터 200까지의 자연수 중에서 3의 배수도 아니고 5의 배수도 아닌 수의 개수는?

① 100

② 107

③ 113

④ 94

Q231도형 성질 추론★★★

이등변삼각형 ABC에서 AB=AC이고 ∠BAC=36°이다. 변 AB 위의 점 D를 CD=CB가 되도록 잡았다. 다음 중 옳지 않은 것은?

① ∠ABC = 72°

② ∠BCD = 36°

③ AD = CB

④ AD = AC

Q232문자와 식 심화★★★

한 변이 1인 정사각형들로 가로 n개, 세로 n개의 정사각형 격자(n×n)를 만들었다. 격자에 그어진 길이 1짜리 변(가로 변과 세로 변)의 총 개수를 n에 대한 식으로 나타내고, n=10일 때의 값을 구하시오.

① 200

② 210

③ 220

④ 240

Q233정수·유리수 추론★★★

|x+3| + |x-5|의 값을 최소로 만드는 x의 범위와 그때의 최솟값을 구하시오.

① -3 ≤ x ≤ 5, 최솟값 8

② x = 1, 최솟값 8

③ -3 ≤ x ≤ 5, 최솟값 5

④ x = 0, 최솟값 4

Q234문자와 식 심화★★

1부터 n까지의 자연수의 합이 105일 때, 자연수 n의 값을 구하시오.

직접 채점:

🎯 정답: 14

🧠 풀이 전략: 등차수열 합 공식을 식으로 세운 후, 두 연속 자연수의 곱이 주어진 값이 되는 n을 찾는다.

📖 풀이:
1단계: 1부터 n까지 자연수의 합 공식

\frac{n(n+1)}{2}

을 적용한다. 2단계:

\frac{n(n+1)}{2} = 105

이므로 n(n+1) = 210. 3단계: 두 연속한 자연수의 곱이 210인 쌍은 14·15뿐이므로 n = 14.

💡 가우스가 어린 시절 1부터 100까지 빠르게 더했다는 일화에서 유도된 공식이다.

Q235일차방정식 활용★★★

오후 1시 정각이 지난 후, 시침과 분침이 처음으로 직각(90°)을 이루는 시각은 1시 몇 분인지 구하시오.

직접 채점:

🎯 정답: 1시 21과 9/11분

🧠 풀이 전략: 분침과 시침의 분당 각속도(분침 6°/분, 시침 0.5°/분)를 이용해 두 바늘의 사이각을 t의 일차식으로 나타낸 뒤 방정식을 푼다.

📖 풀이:
1단계: 1시 정각에 시침은 30°, 분침은 0°에 위치하여 사이각은 30°이고 분침이 시침을 추격하는 상태이다. 2단계: t분 후 분침의 각도는 6t°, 시침의 각도는 30+0.5t°. 분침이 시침보다 90° 앞서야 하므로 6t - (30 + 0.5t) = 90. 3단계: 5.5t = 120 → t =

\frac{240}{11}

= 21과

\frac{9}{11}

분. 따라서 1시 21과 9/11분.

💡 12시간 동안 시침과 분침이 직각을 이루는 횟수는 정확히 22번으로, 평균 약 32분 44초마다 한 번씩 일어난다.

Q236좌표평면 응용★★★

좌표평면에서 두 점 A(0, 12), B(9, 0)과 원점 O로 이루어진 직각삼각형 OAB의 내부(꼭짓점과 변 위는 제외)에 있는 격자점(x좌표와 y좌표가 모두 자연수인 점)의 개수를 구하시오.

직접 채점:

🎯 정답: 43

🧠 풀이 전략: 빗변의 직선 방정식을 먼저 세우고, x를 자연수로 고정한 채 부등식 4x+3y<36을 만족하는 자연수 y의 개수를 차례로 세어 합산한다.

📖 풀이:
1단계: 두 점 A(0,12), B(9,0)을 지나는 직선 AB의 방정식은

\frac{x}{9} + \frac{y}{12} = 1

, 즉 4x+3y=36이다. 2단계: 삼각형 내부 격자점은 x ≥ 1, y ≥ 1 자연수이고 4x+3y < 36을 만족해야 한다. 3단계: x를 1부터 8까지 차례로 대입해 가능한 y 자연수 개수를 세면 10, 9, 7, 6, 5, 3, 2, 1이고, 합은 10+9+7+6+5+3+2+1 = 43개.

💡 삼각형 내부와 경계 위 격자점 개수에 대해서는 픽의 정리(Pick's theorem)라는 우아한 공식이 존재한다.

Q237도형 성질 추론★★★

원 위에 같은 간격으로 7개의 점을 찍은 후, 각 점에서 두 칸 건너뛴 점과 선분으로 이으면 7각별이 만들어진다. 이 7각별의 7개 뾰족한 꼭지점에서의 각의 합을 구하시오.

① 180°

② 360°

③ 540°

④ 720°

🎯 정답: ③

🧠 풀이 전략: 원에 균등 분할된 점들로 만든 별의 꼭지각 합 공식 (n-2m)·180°를 적용한다. m은 건너뛴 칸 수이다. 5각별이 180°인 사실의 일반화로 추론한다.

📖 풀이:
1단계: 원 위 7개 점은 같은 간격으로 배치되어 있으므로 인접한 두 점 사이의 호의 중심각은

\frac{360°}{7}

이다. 2단계: 두 칸 건너뛰며 만든 별의 한 꼭지각은 공식

\frac{(n - 2m) \cdot 180°}{n}

로 구해지며 (n=7, m=2), 한 꼭지각 =

\frac{(7-4) \cdot 180°}{7} = \frac{540°}{7}

. 3단계: 꼭지점이 7개이므로 각의 합 = 7 ×

\frac{540°}{7}

= 540°.

💡 5각별(n=5, m=2)의 꼭지각 합은 (5-4)·180° = 180°로, 우리에게 친숙한 '별 모양 각의 합 180°'의 일반화된 형태이다.

Q238원·부채꼴 심화★★★

한 변의 길이가 4cm인 정사각형 ABCD가 있다. 마주보는 두 꼭짓점 A와 C를 각각 중심으로 반지름 4cm인 사분원을 정사각형 안쪽으로 그렸을 때, 두 사분원이 겹치는 부분의 넓이를 구하시오. (π는 그대로 둔다.)

직접 채점:

🎯 정답: (8π - 16) cm²

🧠 풀이 전략: 두 영역의 합집합과 합을 비교하는 포함-배제 원리를 적용한다. 합집합이 정사각형 전체임을 보이기 위해 임의의 점이 두 중심 중 적어도 하나에서 반지름 이내에 있음을 확인한다.

📖 풀이:
1단계: 사분원 한 개의 넓이 =

\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = 4\pi

. 두 사분원의 넓이의 합 = 8π. 2단계: 정사각형 내부의 임의의 점 (x, y)는 점 A까지의 거리 또는 점 C까지의 거리 중 적어도 하나가 4 이하이다(꼭짓점 B와 D는 각각 두 중심에서 거리 4). 즉 두 사분원의 합집합은 정사각형 전체이고 그 넓이는 16. 3단계: 포함-배제 원리에 의해 겹친 부분 넓이 = (사분원 합) - (합집합) = 8π - 16.

💡 정사각형 안에 마주보는 꼭짓점에서 그린 두 사분원의 곡선 경계는 미술과 건축에서 자주 사용되는 곡선 무늬이다.

Q239입체 추론★★★

가로 4cm, 세로 3cm, 높이 2cm인 직육면체에서 한 꼭짓점 A에서 마주보는(공간 대각선 끝의) 꼭짓점 B까지 직육면체 표면을 따라 이동할 때 가장 짧은 거리를 구하시오.

직접 채점:

🎯 정답: √41 cm

🧠 풀이 전략: 표면 위의 최단 경로는 두 면을 평면으로 펼쳤을 때의 직선 거리와 같다는 원리를 이용해, 가능한 펼침 방법 세 가지의 거리를 모두 계산하고 최솟값을 택한다.

📖 풀이:
1단계: 직육면체 표면을 펼쳐 두 면을 평면으로 만들면 표면 거리는 그 평면 위의 직선 거리와 같다. A에서 B로 가는 펼침은 세 가지가 있다. 2단계: (앞면 + 옆면 펼침)

\sqrt{(4+3)^2 + 2^2}

=

\sqrt{53}

. (앞면 + 윗면 펼침)

\sqrt{(4+2)^2 + 3^2}

=

\sqrt{45}

. (옆면 + 윗면 펼침)

\sqrt{(3+2)^2 + 4^2}

=

\sqrt{41}

. 3단계: 세 값을 비교하면

\sqrt{41}

<

\sqrt{45}

<

\sqrt{53}

이므로 최단 거리는

\sqrt{41}

cm.

💡 이 류의 표면 최단 경로 문제는 헨리 듀드니의 '거미와 파리(Spider and Fly)' 퍼즐로 100년 전부터 유명하다.

Q240자료·경시 퍼즐★★★

한 학급 학생 7명이 시험을 봤다. 모든 학생의 점수가 1점 이상 100점 이하인 서로 다른 자연수이고 평균이 50점일 때, 가장 높은 점수의 최솟값을 구하시오.

직접 채점:

Q241정수·유리수 추론★★★

|a| + |b| = 4를 만족하는 정수 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하시오.

직접 채점:

Q242문자와 식 심화★★

세 자리 자연수 N의 백의 자리 숫자를 a, 십의 자리를 b, 일의 자리를 c라 하자. N의 백의 자리와 일의 자리 숫자를 서로 바꾼 새 세 자리 수에서 N을 뺀 값이 198이라면, c - a의 값을 구하시오.

직접 채점:

Q243자료·경시 퍼즐★★★

서로 다른 다섯 자연수의 합이 25일 때, 다섯 수 중 가장 큰 수가 가질 수 있는 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.

직접 채점:

Q244일차방정식 활용★★★

어떤 책의 정가에서 25%를 할인하여 9000원에 팔았다. 이 책의 원가는 정가의 60%일 때, 책 한 권을 팔 때 얻는 이익은 얼마인가?

①1500원

②1800원

③2100원

④2400원

Q245좌표평면 응용★★★

좌표평면 위 네 점 A(-1, 2), B(5, 2), C(7, 6), D(1, 6)으로 이루어진 사각형 ABCD가 있다. 이 사각형의 종류와 넓이를 차례로 구하라.

①사다리꼴, 24

②평행사변형, 24

③직사각형, 24

④마름모, 30

Q246합동 증명 기초★★★

이등변삼각형 ABC에서 AB=AC이다. 변 BC의 중점을 M이라 하고 선분 AM을 그었을 때, △ABM과 △ACM의 합동조건과 ∠AMB의 크기를 차례로 구하라.

①SAS, 60°

②SSS, 90°

③ASA, 90°

④SSS, 60°

Q247입체 추론★★★

직각삼각형 ABC에서 ∠B=90°, AB=4cm, BC=3cm일 때 빗변 AC=5cm이다. 변 AB를 회전축으로 하여 이 직각삼각형을 한 바퀴 회전시켰을 때 만들어지는 회전체의 겉넓이를 구하라.

①18π cm²

②21π cm²

③24π cm²

④27π cm²

Q248도형 성질 추론★★★

오른쪽 그림과 같이 별 모양(★)을 이루는 다섯 꼭짓점 A, B, C, D, E의 각의 합 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E를 구하라. (별의 가운데에는 작은 오목오각형이 형성된다.)

①90°

②180°

③270°

④360°

Q249자료·경시 퍼즐★★★

어떤 모임에서 모든 사람이 자기 외 다른 사람들과 정확히 한 번씩 악수를 했더니 총 악수 횟수가 28번이었다. 이때 새로운 한 사람이 더 합류하여 기존 사람 모두와 한 번씩 악수한다면, 추가로 일어날 악수의 횟수는?

①7번

②8번

③9번

④10번

Q250정수·유리수 추론★★

수직선 위에서 점 P의 좌표를 x라 할 때, 점 P에서 좌표 3인 점까지의 거리와 좌표 -2인 점까지의 거리의 합이 7이다. 즉 |x-3| + |x+2| = 7을 만족한다. 이때 가능한 x의 값을 모두 구하라.

①x=4 또는 x=-3

②x=5 또는 x=-2

③x=4 (1개만)

④x=-3 (1개만)