📝 초6 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 어떤 수를 □라 하면, □÷(3/4)=2/5이므로 □=2/5×3/4=6/20=3/10입니다.
2단계: 같은 수 3/10을 2/5로 나누면 3/10÷2/5=3/10×5/2=15/20=3/4입니다.
3단계: 검증 — a÷b=c이면 a÷c=b라는 관계를 이용하면, □÷(3/4)=2/5에서 □÷(2/5)=3/4임을 바로 알 수 있습니다.

📖 풀이:
1단계: 5/6÷2/9=5/6×9/2=45/12=15/4=3과 3/4입니다. 즉 2/9 kg씩 가득 채운 봉지가 3개 나오고 일부가 남습니다.
2단계: 가득 채운 봉지 3개에 담긴 양=3×2/9=6/9=2/3 kg입니다.
3단계: 남은 밀가루=5/6−2/3=5/6−4/6=1/6 kg입니다. 1/6 kg은 2/9 kg보다 적으므로(1/6=3/18, 2/9=4/18) 마지막 봉지에 담깁니다.
따라서 봉지는 모두 4개 필요하고, 마지막 봉지에는 1/6 kg이 들어 있습니다.
검산: 3×2/9+1/6=2/3+1/6=4/6+1/6=5/6 ✓

📖 풀이:
1단계: 0.375=375/1000=3/8입니다.
2단계: 3/8+2/5=15/40+16/40=31/40입니다.
3단계: 31/40−1/8=31/40−5/40=26/40=13/20입니다.
검증: 13/20=0.65. 그런데 0.375+0.4−0.125=0.65=13/20. 답은 ④ 13/20입니다.

📖 풀이:
1단계: 1/3≈0.33(반내림), 2/3≈0.66(반내림)으로 소수점 아래 두 자리까지 표현합니다.
2단계: 0.33+0.66=0.99인데, 실제 1/3+2/3=1입니다.
3단계: 차이는 1−0.99=0.01입니다. 이는 순환소수를 유한소수로 끊으면서 각각 약 0.003…과 0.006…이 버려졌기 때문입니다. 두 오차를 합하면 약 0.01이 됩니다.

📖 풀이:
1단계: 전체 소금의 양=30+18=48g입니다.
2단계: 전체 소금물의 양=200+300=500g입니다.
3단계: 농도=48/500×100=9.6%입니다.
함정 분석: 두 소금물의 양이 다르므로 A의 농도 15%와 B의 농도 6%를 단순 평균하면 안 됩니다(단순 평균은 10.5%이며 정답이 아닙니다). 농도는 반드시 (전체 소금)/(전체 소금물)×100으로 구해야 하며, ①·③·④는 이러한 단순 평균이나 잘못된 나눗셈에서 비롯된 오답입니다.

📖 풀이:
1단계: 20% 할인 후 가격=25,000×0.8=20,000원입니다.
2단계: 10% 부가세 후 가격=20,000×1.1=22,000원입니다.
3단계: 원래 가격 대비 비율=22,000/25,000×100=88%입니다.
함정 분석: ②는 '20% 빼고 10% 더하면 10% 할인'이라고 단순 계산한 오류입니다. 할인과 세금의 기준금액이 다르기 때문에 0.8×1.1=0.88, 즉 88%가 됩니다.

📖 풀이:
1단계: 원에 내접하는 정사각형의 대각선은 원의 지름과 같으므로, 대각선=2×10=20cm입니다.
2단계: 정사각형의 대각선과 한 변의 관계: 대각선=변×√2이므로 변=20/√2=10√2 cm입니다.
3단계: 넓이=(10√2)²=200 cm²입니다.
다른 풀이: 정사각형 넓이=대각선×대각선÷2=20×20÷2=200 cm²로도 구할 수 있습니다.

📖 풀이:
1단계: 반지름=14÷2=7cm입니다.
2단계: 반원의 호의 길이=원주의 절반=2×π×7÷2=π×7=22/7×7=22cm입니다.
3단계: 반원의 둘레=호의 길이+지름=22+14=36cm입니다.
함정 분석: ①은 호의 길이만 구한 오류, ③은 원주 전체를 구한 오류입니다.

📖 풀이:
1단계: 전체 일의 양=6명×12일=72(인·일)입니다.
2단계: 9명이 하면 걸리는 일수=72÷9=8일입니다.
3단계: 검증 — 사람 수가 6→9로 1.5배 늘었으므로, 일수는 12÷1.5=8일로 반비례합니다.

📖 풀이:
1단계: 최악의 경우를 생각합니다. 처음 3짝이 모두 다른 색(빨강1, 파랑1, 검정1)일 수 있습니다.
2단계: 색이 3종류이므로, 3짝까지는 전부 다른 색일 가능성이 있습니다.
3단계: 4번째 양말은 어떤 색이든 이미 꺼낸 3색 중 하나와 같으므로, 반드시 한 쌍이 만들어집니다. 이것이 비둘기집 원리입니다.
함정 분석: ①은 운이 좋은 경우, ④는 모든 양말을 꺼내는 오류입니다.

📖 풀이:
1단계: 겨울 비율=100%−30%−25%−20%=25%입니다.
2단계: 겨울 학생 수=40×25/100=10명입니다.
3단계: 봄 학생 수=40×30/100=12명, 가을 학생 수=40×20/100=8명이므로, 봄이 가을보다 12−8=4명 더 많습니다.

📖 풀이:
1단계: 패턴 관찰 — 홀수 2개의 합=2²=4, 3개의 합=3²=9, 4개의 합=4²=16입니다.
2단계: 1부터 19까지의 홀수는 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19로 총 10개이므로, 합=10²=100입니다.
3단계: 왜 그런지 — n번째 홀수는 2n−1입니다. 1+3+5+…+(2n−1)에서 각 홀수를 L자 모양으로 정사각형에 배치하면, n×n 정사각형이 만들어집니다. 예: 1(1×1) → 1+3(2×2, 3은 ㄱ자로 붙임) → 1+3+5(3×3, 5는 ㄱ자로 붙임). 이것이 기하학적 증명입니다.

📖 풀이:
1단계: 물통의 부피 = π×6²×10 = 360π cm³
2단계: 컵 하나의 부피 = π×3²×10 = 90π cm³
3단계: 필요한 컵 수 = 360π ÷ 90π = 4개
핵심 포인트: 반지름이 2배이면 밑넓이는 4배가 됩니다. 6÷3=2이므로 밑넓이 비는 4:1이고, 높이가 같으므로 부피 비도 4:1입니다.

📖 풀이:
1단계: 첫째 날은 A만 가동하여 120개를 만듭니다. (누적 120개)
2단계: 둘째 날부터 A와 B가 함께 가동하여 하루에 120+80=200개씩 만듭니다.
3단계: 누적 생산량은 둘째 날 320개, 셋째 날 520개입니다. 셋째 날까지는 520개로 600개에 못 미칩니다.
4단계: 넷째 날에 200개를 더 만들면 누적 720개가 되어 이날 600개를 넘겨 주문이 완성됩니다. 따라서 셋째 날로는 부족하고 넷째 날까지 가동해야 하므로 4일이 걸립니다.
(참고: 만약 B가 늦지 않고 첫날부터 함께 가동했다면 하루 200개씩 3일이면 600개가 되어 3일이지만, B가 하루 늦어 4일이 됩니다. 이것이 ①3일이 오답인 이유입니다.)

📖 풀이:
1단계: 중앙값이 80점이므로 30명을 점수순으로 줄 세우면 적어도 15명(상위 절반)이 80점 이상입니다. 즉 학생의 절반 이상이 높은 점수대(80점 이상)에 있습니다.
2단계: 최빈값이 85점이므로 가장 많은 학생이 모여 있는 점수가 85점(높은 쪽)입니다. 평균(76)<중앙값(80)<최빈값(85)이라 분포는 낮은 점수 쪽에 소수의 학생이 흩어진 '왼쪽 꼬리' 모양이고, 학생들은 높은 점수 쪽에 몰려 있습니다. 따라서 ②가 반드시 참입니다.
①은 반드시 참은 아님: 평균(76점) 이상인 학생이 정확히 15명(절반)뿐인 분포도 가능합니다. 예를 들어 66점 13명, 72점 1명, 75점 1명, 85점 15명이면 평균 76·중앙값 80·최빈값 85를 모두 만족하지만 평균 이상은 15명(절반)이라 '대부분'이라 할 수 없습니다.
③은 틀림: '평균보다 낮은 학생이 정확히 15명'은 중앙값(80)과 평균(76)을 혼동한 것으로, 평균(76) 미만 학생 수는 분포에 따라 달라집니다.
④는 틀림: 최빈값(85)과 평균(76)은 서로 다릅니다.

📖 풀이:
1단계: 1~100에서 7로 나눈 나머지별 개수를 셉니다.
- 나머지0: 7,14,...,98 → 14개
- 나머지1: 1,8,...,99 → 15개
- 나머지2: 2,9,...,100 → 15개
- 나머지3: 3,10,...,94 → 14개
- 나머지4: 4,11,...,95 → 14개
- 나머지5: 5,12,...,96 → 14개
- 나머지6: 6,13,...,97 → 14개
2단계: 최악의 경우, 가장 많은 6개 그룹의 카드를 모두 뽑고도 나머지 1개 그룹이 안 나오는 상황입니다.
3단계: 나머지1(15개)+나머지2(15개)+나머지0(14개)+나머지3(14개)+나머지4(14개)+나머지5(14개)=86장을 모두 뽑아도 나머지6이 없을 수 있음. 87장째에 반드시 나머지6이 포함됩니다.
따라서 최악의 경우 87장.

📖 풀이:
1단계: 원의 넓이 = π×10² = 314 cm²
2단계: 원에 내접하는 정육각형은 한 변의 길이가 반지름과 같으므로 한 변 = 10cm. 정육각형은 한 변이 10cm인 정삼각형 6개로 나뉩니다.
3단계: 정삼각형 1개의 넓이 = (√3/4)×10² = 25√3 ≈ 25×1.732 = 43.3 cm²
4단계: 정육각형 넓이 = 6×43.3 = 259.8 cm²
5단계: 빗금 부분 = 314 - 259.8 ≈ 54.2 cm²
참고: 더 정확히는 314 - 150√3 ≈ 314 - 259.81 = 54.19 cm²

📖 풀이:
1단계: 120명을 모두 태우려면 45×(45인승 대수)+25×(25인승 대수) ≥ 120이어야 하고, 비용(만 원)은 30×(45인승 대수)+20×(25인승 대수)입니다.
2단계: 각 보기를 확인합니다.
①: 140석 수용, 비용 30×2+20×2 = 100만 원
②: 135석 수용, 비용 30×3 = 90만 원
③: 45+75 = 120석 수용, 비용 30+60 = 90만 원
④: 90+25 = 115석 < 120 → 120명을 못 태우므로 탈락
3단계: 최소 비용은 90만 원이며, 이를 만족하는 방법은 ②(45인승 3대, 135석, 빈자리 15)와 ③(45인승 1대+25인승 3대, 120석, 빈자리 0) 두 가지입니다.
4단계: 비용이 같으므로 빈자리가 가장 적은 ③(빈자리 0)을 고릅니다.
따라서 답은 ③입니다.

📖 풀이:
1단계: x=3일 때 → 밑면 가로=(20-6)=14cm, 세로=(16-6)=10cm, 높이=3cm
부피 = 14×10×3 = 420cm³
2단계: x=4일 때 → 밑면 가로=(20-8)=12cm, 세로=(16-8)=8cm, 높이=4cm
부피 = 12×8×4 = 384cm³
3단계: 420 > 384이므로 x=3일 때가 36cm³ 더 큽니다.
생각할 점: 높이를 높이면 부피가 항상 커지는 것은 아닙니다! 밑면이 줄어드는 효과가 더 클 수 있습니다.

📖 풀이:
1단계: 전체 구슬 9개에서 2개를 순서대로 뽑는 경우의 수 = 9×8 = 72
2단계: 같은 색 2개를 뽑는 경우를 먼저 구합니다.
- 빨-빨: 4×3 = 12
- 파-파: 3×2 = 6
- 노-노: 2×1 = 2
- 같은 색 합계: 12+6+2 = 20
3단계: 서로 다른 색 = 72-20 = 52
4단계: 확률 = 52/72 = 13/18
여사건(같은 색)을 먼저 구한 뒤 전체에서 빼는 것이 훨씬 효율적입니다.

📖 풀이:
1단계: 원래 가격을 100이라 하면, 25% 할인 → 100×0.75 = 75
2단계: 75에서 20% 인상 → 75×1.20 = 90
3단계: 최종 가격 90은 원래 가격 100의 90%입니다.
핵심: 25% 할인과 20% 인상은 서로 상쇄되지 않습니다! 할인은 큰 값(100)에서, 인상은 작은 값(75)에서 적용되기 때문입니다.

📖 풀이:
1단계: 공식 k(k+1) = (1/3)[k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)]을 이용하면 합이 텔레스코핑(망원경)식으로 정리됩니다.
2단계: k=1, 2, ..., 19까지 더하면 가운데 항들이 모두 지워져 (1/3)[19×20×21 - 0×1×2] = (1/3)×7980 = 2660이 됩니다.
3단계(검산): k(k+1)=k²+k이므로 (1²+2²+...+19²)+(1+2+...+19) = (19×20×39)/6 + (19×20)/2 = 2470 + 190 = 2660.
따라서 답은 ①2660입니다.

📖 풀이:
1단계: 마지막 성냥을 가져가면 지는 게임(미제르 게임)입니다. '자기 차례에 남은 개수'로 승패를 따집니다.
2단계: 남은 개수가 1개면 가져갈 수밖에 없어(마지막) 자기 차례인 사람이 집니다. 그러므로 상대에게 1개를 남기면 이깁니다.
3단계: 작은 경우부터 따지면, 자기 차례에 남은 개수가 1·5·9·13·17·21·25개(즉 4의 배수+1)이면 무엇을 가져가도 상대가 다시 4의 배수+1을 만들 수 있어 결국 지는 '패배 위치'입니다. 예) 5개에서 1·2·3개를 가져가면 4·3·2개가 남는데, 상대는 거기서 3·2·1개를 가져가 다시 나에게 1개를 남길 수 있습니다.
4단계: 처음 25개 = 4×6+1로, 시작하는 A가 이미 패배 위치에 있습니다. A가 무엇을 가져가도 24·23·22개가 남고, B는 3·2·1개를 가져가 다시 21개(4×5+1)를 A에게 남길 수 있습니다. 이렇게 B가 21→17→13→9→5→1개를 계속 A에게 남기면 결국 A가 마지막 1개를 가져가 집니다.
따라서 B가 최선을 다하면 A는 이길 수 없습니다. 답은 ④입니다.
(원래 풀이의 오류: 4개가 남고 B 차례일 때 B가 3개를 가져가면 1개가 남아 A가 마지막을 잡아 A가 집니다. 즉 4개는 가져가는 사람이 이기는 위치인데, 이를 'B 패배'로 잘못 보았습니다.)

📖 풀이:
1단계: 잘못한 계산은 (어떤 수) × 3/4 = 9/16입니다.
어떤 수 = 9/16 ÷ 3/4 = 9/16 × 4/3 = 36/48 = 3/4
2단계: 원래 해야 할 계산은 (어떤 수) ÷ 3/4입니다.
3/4 ÷ 3/4 = 3/4 × 4/3 = 12/12 = 1
따라서 원래 계산의 정답은 ④1입니다.
(③3/4은 '어떤 수' 자체를 답으로 착각한 것이므로 오답입니다.)

📖 풀이:
1단계: A÷(2/3)=9/4이므로 A=9/4×2/3=18/12=3/2입니다.
2단계: B÷A=5/6이므로 B=5/6×A=5/6×3/2=15/12=5/4입니다.
검산: B÷A=5/4÷3/2=5/4×2/3=10/12=5/6 ✓
※ 함정: A를 구할 때 나눗셈 방향을 반대로 하여 A=9/4÷2/3=27/8로 계산하면 오답으로 빠지므로 주의합니다.
따라서 B=5/4이고 정답은 ④입니다.