📝 고2 수학 일반

📖 풀이:
코사인법칙에 의해 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 100 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$. 따라서 $a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

📖 풀이:
부분분수 분해: $\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$. 따라서 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{10}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$. 망원합으로 정리하면 $\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{11} - \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{132 + 66 - 12 - 11}{132} = \frac{1}{2} \cdot \frac{175}{132} = \frac{175}{264}$.

📖 풀이:
$2^x = 3^y = 6^z = k$로 놓으면 $x = \log_2 k$, $y = \log_3 k$, $z = \log_6 k$. 따라서 $\frac{1}{x} = \log_k 2$, $\frac{1}{y} = \log_k 3$, $\frac{1}{z} = \log_k 6$. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = \log_k 2 + \log_k 3 - \log_k 6 = \log_k \frac{2 \cdot 3}{6} = \log_k 1 = 0$.

📖 풀이:
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$이다. $x = -1$에서 극값을 가지므로 $f'(-1) = 3 - 2a + b = 0$, 즉 $b = 2a - 3$이다. 또한 극댓값이 $4$이므로 $f(-1) = -1 + a - b + 1 = a - b = 4$이다. 두 식을 연립하면 $a - (2a - 3) = 4$에서 $-a + 3 = 4$, 즉 $a = -1$이고 $b = 2(-1) - 3 = -5$이다. $f''(x) = 6x + 2a = 6x - 2$이고 $f''(-1) = -8 < 0$이므로 $x = -1$은 극대점이다. 따라서 $a + b = -1 + (-5) = -6$이다. 정답은 ① -6이다.

📖 풀이:
$8 = 2^3$, $4 = 2^2$로 바꾼다. $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$, $4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. 따라서 $4 \times \frac{1}{2} = 2$.

📖 풀이:
각 항을 미분하면 $f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$. $x=1$ 대입: $f'(1) = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 5 = 3 + 4 - 5 = 2$.

📖 풀이:
코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$를 변형하면 $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. 대입하면 $\cos A = \frac{64 + 81 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$.

📖 풀이:
제2사분면에서 $\sin\theta > 0$이다. $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$이므로 $\sin\theta = \frac{4}{5}$이다. $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$이다. 따라서 $\sin\theta + \tan\theta = \frac{4}{5} + \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{12 - 20}{15} = -\frac{8}{15}$이다.

📖 풀이:
부정적분: $\int (3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C$. 정적분 계산: $[x^3 - x^2 + x]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6$.

📖 풀이:
$x$축과의 교점은 $y = 0$일 때다. $\log_2(x-3) + 1 = 0 \Rightarrow \log_2(x-3) = -1 \Rightarrow x - 3 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. 따라서 $x = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

📖 풀이:
$f(x) = x^2 - 4x + 5$의 도함수는 $f'(x) = 2x - 4$. 점 $(3, 2)$에서의 접선 기울기는 $f'(3) = 6 - 4 = 2$. 접선의 방정식: $y - 2 = 2(x - 3) \Rightarrow y = 2x - 4$.

📖 풀이:
P에서 절벽 아래 H까지 수직거리 30m. 내려본각이 $45°$인 배 B는 $\tan 45° = \frac{30}{HB} = 1$이므로 $HB = 30$. 내려본각이 $30°$인 배 A는 $\tan 30° = \frac{30}{HA} = \frac{1}{\sqrt{3}}$이므로 $HA = 30\sqrt{3}$. 두 배 사이 거리: $AB = HA - HB = 30\sqrt{3} - 30 = 30(\sqrt{3}-1)$ m.

📖 풀이:
점화식 $a_{n+1} - a_n = 2n$의 양변을 $n=1$부터 $n=9$까지 합한다. $\sum_{k=1}^{9}(a_{k+1} - a_k) = a_{10} - a_1 = \sum_{k=1}^{9} 2k = 2 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 90$. 따라서 $a_{10} = 1 + 90 = 91$.

📖 풀이:
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$이므로 임계점은 $x=0, 2$이다. 구간 $[-1, 3]$에서 후보 함숫값을 계산하면 $f(-1) = -1 - 3 + a = a - 4$, $f(0) = a$, $f(2) = 8 - 12 + a = a - 4$, $f(3) = 27 - 27 + a = a$이다. 따라서 최댓값은 $f(0) = f(3) = a$, 최솟값은 $f(-1) = f(2) = a - 4$이다. 최댓값이 $5$이므로 $a = 5$이고, 최솟값 $m = a - 4 = 1$이다. 그러므로 $a + m = 5 + 1 = 6$이다.

📖 풀이:
1단계: $\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$로 변환한다.
2단계: $2^{\frac{4}{3}} \times 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2$이다.
3단계: 따라서 답은 $2^2 = 4$이다.

📖 풀이:
1단계: 등비수열의 일반항은 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$이다.
2단계: $a_1 = 3$, $r = 2$이므로 $a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4$이다.
3단계: $3 \cdot 16 = 48$이므로 $a_5 = 48$이다.

📖 풀이:
1단계: $x \to 1$일 때 분자와 분모가 모두 $0$이 되어 $\dfrac{0}{0}$ 부정형이다.
2단계: 분자를 인수분해한다. $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$이다.
3단계: 약분하면 $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$이다 (단, $x \neq 1$).
4단계: 따라서 $\displaystyle \lim_{x \to 1}(x+1) = 1+1 = 2$이다.

📖 풀이:
1단계: $2^x = t$ ($t > 0$)로 치환하면 $2^{2x} = (2^x)^2 = t^2$이다.
2단계: 방정식이 $t^2 - 5t + 4 = 0$으로 바뀐다. 인수분해하면 $(t-1)(t-4) = 0$이다.
3단계: $t = 1$ 또는 $t = 4$이다 (둘 다 양수이므로 조건 충족).
4단계: $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$, $2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$.
5단계: 두 실근의 합은 $0 + 2 = 2$이다.

📖 풀이:
1단계: 위치 $x(t)$는 속도 $v(t)$의 시간에 대한 정적분이다. $x(t) - x(0) = \displaystyle \int_0^t v(s)\,ds$.
2단계: $x(0) = 0$이므로 $x(3) = \displaystyle \int_0^3 (3t^2 - 6t)\,dt$이다.
3단계: 부정적분을 구하면 $\int (3t^2 - 6t)\,dt = t^3 - 3t^2 + C$이다.
4단계: $x(3) = [t^3 - 3t^2]_0^3 = (27 - 27) - 0 = 0$이다.
5단계: 따라서 $t=3$일 때 점 P는 다시 원점에 와 있다.

📖 풀이:
1단계: 두 변과 그 끼인각이 주어졌으므로 코사인법칙을 적용한다.
2단계: $\overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 - 2 \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BC} \cdot \cos(\angle ACB)$.
3단계: $\overline{AB}^2 = 100^2 + 80^2 - 2 \cdot 100 \cdot 80 \cdot \cos 60°$ $= 10000 + 6400 - 16000 \cdot \dfrac{1}{2}$ $= 16400 - 8000 = 8400$.
4단계: $\overline{AB} = \sqrt{8400} = \sqrt{400 \cdot 21} = 20\sqrt{21}$ m이다.

📖 풀이:
1단계: $x \to 2$일 때 분자 $x^3 - 8 \to 0$이고 극한값이 $4$로 수렴하므로, 분모도 $0$으로 수렴해야 한다.
2단계: $4 + 2a + b = 0$ ... (㉠)이므로 $x=2$가 분모의 근이다. 분모는 $(x-2)(x-r)$ 꼴로 인수분해된다.
3단계: 분자는 $x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$이므로,
$\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{(x-2)(x-r)} = \dfrac{4 + 4 + 4}{2 - r} = \dfrac{12}{2-r} = 4$.
4단계: $12 = 4(2-r) = 8 - 4r$이므로 $r = -1$이다.
5단계: $x^2 + ax + b = (x-2)(x+1) = x^2 - x - 2$이므로 $a = -1$, $b = -2$이다.
6단계: $a + b = -1 + (-2) = -3$이다.

📖 풀이:
1단계: 곡선 위의 접점을 $(t, t^2)$이라 하자. $y' = 2x$이므로 접선의 기울기는 $2t$이다.
2단계: 접선의 방정식은 $y - t^2 = 2t(x - t)$, 즉 $y = 2tx - t^2$이다.
3단계: 이 접선이 점 $(0, -2)$를 지나므로 $-2 = 2t \cdot 0 - t^2 = -t^2$, 즉 $t^2 = 2$이다.
4단계: $t = \sqrt{2}$ 또는 $t = -\sqrt{2}$이므로 두 접선의 기울기는 $2\sqrt{2}$와 $-2\sqrt{2}$이다.
5단계: 기울기의 곱은 $2\sqrt{2} \times (-2\sqrt{2}) = -4 \cdot 2 = -8$이다.

📖 풀이:
1단계: 교점을 구한다. $x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) = 0$이므로 $x = -2, 0, 2$이다.
2단계: 두 그래프 모두 원점 대칭(기함수)이므로 둘러싸인 영역도 원점에 대해 대칭이다.
3단계: 구간 $[-2, 0]$에서 $x^3 - 3x \geq x$ ($x = -1$일 때 $2 > -1$), 구간 $[0, 2]$에서는 $x \geq x^3 - 3x$ ($x=1$일 때 $1 > -2$)이다.
4단계: 대칭성에 의해 넓이는 $\displaystyle 2\int_0^2 \bigl(x - (x^3 - 3x)\bigr)\,dx = 2\int_0^2 (4x - x^3)\,dx$이다.
5단계: $\displaystyle \int_0^2 (4x - x^3)\,dx = \left[2x^2 - \dfrac{x^4}{4}\right]_0^2 = 8 - 4 = 4$.
6단계: 따라서 넓이는 $2 \times 4 = 8$이다.

📖 풀이:
1단계: 부분분수 분해를 적용한다. $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)$.
2단계: 합을 전개하면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right) = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{20}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)$이다.
3단계: 망원합(telescoping)이 되어 중간 항들이 모두 약분된다. $\dfrac{1}{2}\left[\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{39} - \dfrac{1}{41}\right)\right]$.
4단계: 결과는 $\dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{41}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{40}{41} = \dfrac{20}{41}$이다.

📖 풀이:
$x \to 2$일 때 분자·분모 모두 0으로 수렴하는 $\frac{0}{0}$ 부정형이므로 인수분해 후 약분한다.

분자: $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$
분모: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$

따라서
$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x+2} = \frac{2+1}{2+2} = \frac{3}{4}$