🔬 고등 물리Ⅱ

📖 풀이:
로런츠 인자는\n$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-0.36}}=\frac{1}{0.8}=1.25$$\n운동 방향의 길이는 정지길이보다 짧아지므로(길이 수축)\n$$L=\frac{L_0}{\gamma}=\frac{100}{1.25}=80\text{ m}$$\n수축은 운동 방향으로만 일어나며, 수직 방향 길이는 변하지 않는다.

📖 풀이:
강을 가장 빠르게 건너려면 배의 속도 벡터 중 강기슭에 수직인 성분이 최대가 되어야 하므로, 선수를 강기슭에 수직 방향으로 향해야 한다(강물의 흐름과 무관).\n(가) 횡단 시간: $t=\dfrac{200}{v_b}=\dfrac{200}{5}=40\text{ s}$.\n(나) 그 동안 강물에 실려 하류로 표류: $d=u\cdot t=3\times 40=120\text{ m}$.\n도착점은 정면이 아닌 하류 120 m 지점이지만, 횡단 시간 자체는 최소가 된다.

📖 풀이:
원궤도에서 만유인력이 구심력을 제공: $\dfrac{GMm}{r^2}=\dfrac{4\pi^2 mr}{T^2}$. 정리하면\n$$r^3=\frac{GMT^2}{4\pi^2}=\frac{4.0\times10^{14}\times(8.64\times10^4)^2}{4\pi^2}\approx\frac{4.0\times10^{14}\times7.46\times10^9}{39.5}\approx 7.56\times10^{22}\text{ m}^3$$\n$$r\approx (7.56\times10^{22})^{1/3}\approx 4.23\times10^7\text{ m}\approx 4.2\times10^4\text{ km}$$\n궤도 반지름은 지구 반지름($\approx 6400$ km)의 약 6.6배이며, 지표 기준 고도는 $r-R\approx 3.6\times10^4\text{ km}$(약 5.6배)이다.

📖 풀이:
RL 회로의 키르히호프 전압 법칙: $V_0=iR+L\dfrac{di}{dt}$. 해는\n$$i(t)=\frac{V_0}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\quad \tau=\frac{L}{R}$$\n주어진 값으로 $\tau=0.20/50=4.0\times10^{-3}\text{ s}=4.0\text{ ms}$.\n$t=\tau$일 때 $i=I_0(1-e^{-1})\approx 0.632\, I_0$이므로 약 63% 도달 시간도 $\tau=4.0\text{ ms}$.\n인덕터의 역기전력 때문에 전류는 점진적으로(지수적으로) 증가한다.

📖 풀이:
아인슈타인의 질량-에너지 등가 관계 $E=mc^2$에 따라\n$$E=\Delta m\cdot c^2 = (2.0\times 10^{-3})\times (3.0\times 10^8)^2 = 2.0\times 10^{-3}\times 9.0\times 10^{16} = 1.8\times 10^{14}\text{ J}$$\n매우 작은 질량 결손도 $c^2$의 거대한 계수 때문에 막대한 에너지로 변환된다. 이는 핵분열 / 핵융합 / 입자-반입자 소멸 반응의 원리이다.

📖 풀이:
수평운동과 수직운동을 독립적으로 분석한다.\n(1) 지면 도달 시간: $h=\tfrac{1}{2}gt^2$에서 $t=\sqrt{2h/g}$.\n(2) 충돌 직전 속도 성분: $v_x=v_0$ (등속), $v_y=gt=g\sqrt{2h/g}=\sqrt{2gh}$.\n(3) 속도 벡터의 각도: $\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{\sqrt{2gh}}{v_0}$.\n절벽이 높을수록(h 증가) 또는 초속력이 작을수록 더 가파른 각으로 떨어진다.

📖 풀이:
원궤도 조건에서 만유인력이 구심력 역할:\n$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\ \Rightarrow\ v^2=\frac{GM}{r}$$\n따라서\n$$K=\tfrac{1}{2}mv^2=\frac{GMm}{2r},\quad U=-\frac{GMm}{r}$$\n비교하면 $|U|=2K$, 즉 $|U|/K=2$.\n총역학적 에너지:\n$$E=K+U=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}=-K$$\n속박된 궤도의 총에너지는 항상 음수이다 ($E<0$).

📖 풀이:
직렬 RLC의 임피던스는 $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$, 여기서 $X_L=\omega L$, $X_C=1/(\omega C)$.\n공진은 $X_L=X_C$일 때, 즉 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄될 때 일어난다.\n$$\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}\ \Rightarrow\ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$\n주어진 값:\n$$LC=(40\times10^{-3})(10\times10^{-6})=4\times10^{-7},\quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{4\times10^{-7}}}=\frac{1}{2\times3.162\times10^{-4}}\approx 1581\text{ rad/s}$$\n공진 시 임피던스는 최소가 되며 $Z=R=20\ \Omega$. 회로는 순수 저항처럼 동작하고 전류가 최대가 된다.

📖 풀이:
단순조화운동의 총 역학적 에너지는 운동에너지와 탄성 퍼텐셜 에너지의 합으로, 진폭에서 모두 퍼텐셜로 보존된다. 따라서 $E = \frac{1}{2}kA^2$. 진폭이 $A \to 2A$가 되면 $E' = \frac{1}{2}k(2A)^2 = 4 \cdot \frac{1}{2}kA^2 = 4E$. 에너지는 진폭의 제곱에 비례하므로 4배가 된다.

📖 풀이:
이상적(무한히 긴) 솔레노이드 내부의 자기장은 균일하며 크기는 앙페르 법칙으로 유도되는 식 $B = \mu_0 n I$로 주어진다. 값을 대입하면 $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times 2.0 = 8\pi \times 10^{-4}$ T $\approx 2.51 \times 10^{-3}$ T. 단위 길이당 감은수와 전류의 곱에만 의존하며, 솔레노이드 단면의 반지름에는 무관하다.

📖 풀이:
광전효과 식 $hf = W + \frac{1}{2}mv_{max}^2$에서 한계진동수 $f_0$일 때 광전자의 운동에너지가 0이 되므로 $W = hf_0$. 대입하면 $W = (6.63 \times 10^{-34})(5.0 \times 10^{14}) = 3.315 \times 10^{-19}$ J. eV로 환산: $W = 3.315 \times 10^{-19} / 1.6 \times 10^{-19} \approx 2.07$ eV.

📖 풀이:
양 끝이 고정된 현의 정상파에서는 양 끝이 마디가 되어야 하므로 $L = n\lambda_n/2$, 즉 파장 $\lambda_n = 2L/n$. 따라서 진동수 $f_n = v/\lambda_n = nv/(2L)$. $n=2$를 대입하면 $f_2 = \frac{2 \times 200}{2 \times 1.0} = 200$ Hz. 1차 조화는 100 Hz이고 2차는 그 두 배.

📖 풀이:
패러데이의 전자기 유도 법칙: $|\varepsilon| = N \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$. 자기선속 변화량 $|\Delta \Phi| = |1.0 \times 10^{-3} - 2.0 \times 10^{-3}| = 1.0 \times 10^{-3}$ Wb. 따라서 $|\varepsilon| = 100 \times \frac{1.0 \times 10^{-3}}{0.10} = 1.0$ V. 렌츠의 법칙에 따라 유도 전류는 자기선속의 감소를 방해하는 방향으로 흐른다.

📖 풀이:
단일슬릿 회절에서 어두운 무늬(극소) 조건은 $a\sin\theta = m\lambda$ ($m=\pm1, \pm2, ...$). 첫 어두운 무늬는 $m=1$. 작은각 근사에서 $\sin\theta \approx \tan\theta \approx y/L$이므로 $y = \lambda L/a$. 단위 환산 후 대입: $y = \frac{(600 \times 10^{-9})(2.0)}{5.0 \times 10^{-5}} = 2.4 \times 10^{-2}$ m = 2.4 cm. 슬릿이 좁을수록 회절이 커져 무늬가 넓게 퍼진다.

📖 풀이:
방출 광자의 에너지는 두 준위의 에너지 차의 크기 $\Delta E = |E_3 - E_2|$. $E_2 = -13.6/2^2 = -3.40$ eV, $E_3 = -13.6/3^2 \approx -1.51$ eV. 따라서 $\Delta E = |-1.51 - (-3.40)| = 1.89$ eV. 이 광자는 파장으로 환산하면 약 656 nm로, 가시광선 영역의 붉은색이며 별 스펙트럼에서 가장 강한 수소 흡수선 중 하나다.

📖 풀이:
비오-사바르 법칙을 원형 도선 전체에 대해 적분하면, 도선 중심에서의 자기장 크기는 $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$. 대입: $B = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(5.0)}{2 \times 0.10} = \frac{2\pi \times 10^{-6}}{0.20} = 10\pi \times 10^{-6} = \pi \times 10^{-5}$ T $\approx 3.14 \times 10^{-5}$ T. 방향은 오른손 법칙에 따라 도선이 만든 면에 수직이다.

📖 풀이:
렌즈 공식에 대입: $\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{b}$, 따라서 $\frac{1}{b} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. 즉 $b = 15$ cm (렌즈 뒤쪽 실상). 배율 $m = -\frac{b}{a} = -\frac{15}{30} = -0.5$, $|m| = 0.5$. 음의 부호는 도립(거꾸로 된)상, 크기 < 1은 축소상을 의미한다.

📖 풀이:
음원이 관측자에게 다가오는 경우의 도플러 효과 식은 $f' = f_0 \cdot \frac{v}{v - v_s}$ ($v_s$: 음원 속력, 다가갈 때 분모에서 빼기). 대입하면 $f' = 400 \times \frac{340}{340 - 20} = 400 \times \frac{340}{320} = 400 \times 1.0625 = 425$ Hz. 음원이 다가오면 파면이 압축되어 파장이 짧아지고, 관측 진동수가 본래 진동수보다 증가한다 (앞으로 25 Hz 만큼).

📖 풀이:
먼저 솔레노이드의 인덕턴스를 계산. $L = \mu_0 n^2 A \ell = (4\pi \times 10^{-7}) \times (2000)^2 \times (1.0 \times 10^{-4}) \times 0.50$. 정리: $L = (4\pi \times 10^{-7}) \times (4 \times 10^6) \times (5.0 \times 10^{-5}) = 8\pi \times 10^{-5}$ H $\approx 2.51 \times 10^{-4}$ H. 자기 에너지: $U = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2} \times (8\pi \times 10^{-5}) \times (3.0)^2 = 36\pi \times 10^{-5}$ J $\approx 1.13 \times 10^{-3}$ J. 단위 검증: H·A² = J 이므로 일관적.

📖 풀이:
불확정성 원리의 최소 등호조건은 $\Delta x \, \Delta p = \hbar/2$이므로 $\Delta p_{\min} = \frac{\hbar}{2 \Delta x}$. 대입: $\Delta p_{\min} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2 \times 1.0 \times 10^{-10}} = 5.275 \times 10^{-25}$ kg·m/s $\approx 5.3 \times 10^{-25}$ kg·m/s. 참고로 전자 질량 $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ kg을 쓰면 속도의 최소 불확정성은 약 $5.8 \times 10^5$ m/s로, 전자가 원자 내부에서 광속의 약 0.2 % 수준의 빠른 속도 분포를 가짐을 시사한다.

📖 풀이:
1단계: 로런츠 인자 계산. $v=0.8c$이므로 $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.64}}=\frac{1}{\sqrt{0.36}}=\frac{1}{0.6}=\frac{5}{3}$. 2단계: 시간 지연 공식 적용. 우주선과 함께 움직이는 시계로 측정한 시간이 고유시간 $\Delta t_0=30$년이고, 지구 관성계에서 본 시간은 $\Delta t=\gamma\Delta t_0=\frac{5}{3}\times 30=50$년. 즉 지구에서 보면 운동하는 우주선의 시계가 더 천천히 가는 것으로 측정된다.

📖 풀이:
1단계: 평형 조건 설정. 통나무가 정지 상태로 떠 있으므로 부력 = 중력. $\rho_0 V_{잠} g = \rho_w V g$. 2단계: 부피비 계산. $\frac{V_{잠}}{V}=\frac{\rho_w}{\rho_0}=\frac{800}{1000}=0.8$. 따라서 통나무 전체 부피의 80%가 물 속에 잠긴다. 이는 떠 있는 물체의 잠긴 부피비가 두 밀도의 비와 같다는 일반 결과다.

📖 풀이:
1단계: 시정수 계산. $\tau=RC=(2\times 10^4\,\Omega)\times(5\times 10^{-5}\,\text{F})=1$ s. 2단계: 충전 방정식. $V_C(t)=V_0\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)$. 3단계: 수치 대입. $t/\tau=2/1=2$이므로 $V_C=12\bigl(1-e^{-2}\bigr)=12\times(1-0.135)=12\times 0.865\approx 10.38$ V. 시정수의 2배 시간 후 약 86.5% 충전된 상태다.

📖 풀이:
1단계: 위상 변화 분석. 공기→비누(밀한 매질) 경계에서 위 표면 반사는 $\pi$ 위상 변화가 일어난다. 비누→공기(소한 매질) 경계에서 아래 표면 반사는 위상 변화가 없다. 두 반사광 사이의 추가 광경로차는 $2nt$이며, 한 쪽만 $\pi$ 위상이 더해진다. 2단계: 보강간섭 조건. $2nt=(m+\tfrac{1}{2})\lambda$, $m=0,1,2,\dots$. 3단계: 최소 두께($m=0$). $t=\dfrac{\lambda}{4n}=\dfrac{532\text{ nm}}{4\times 1.33}=\dfrac{532}{5.32}=100$ nm.

📖 풀이:
1단계: 광자 1개의 에너지를 eV 단위로 계산. $E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{1240\text{ eV·nm}}{310\text{ nm}}=4.0$ eV. 2단계: 아인슈타인의 광전효과 방정식 적용. $hf=W+K_{\max}$. 3단계: 최대 운동에너지. $K_{\max}=E-W=4.0-2.0=2.0$ eV. 광자 에너지가 일함수보다 작으면 광전자는 빛의 세기에 관계없이 전혀 방출되지 않는다(임계진동수의 존재).