🔬 고등 물리Ⅱ

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1단계(렌즈공식): $\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{3-1}{30}=\dfrac{2}{30}$. 따라서 $b=15\text{ cm}>0$ (렌즈 반대쪽 → 실상). 2단계(배율): $|m|=b/a=15/30=0.5$. 3단계(상의 종류): 물체가 $a>2f=20$ cm 영역에 있으므로 도립·실상·축소. 부호로는 $m=-b/a=-0.5$로 음수가 도립을 의미.

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1단계(외부, $r>R$): 구 대칭이므로 반지름 $r_1$ 가우스면을 잡으면 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=E(4\pi r_1^2)=Q/\varepsilon_0$. 외부에서는 마치 점전하처럼 보여 $E_1=kQ/r_1^2=9.0\times10^9\times2.0\times10^{-6}/(0.50)^2=7.2\times10^4$ V/m. 2단계(내부, $r<R$): 가우스면 내부 전하는 부피비로 $Q_{enc}=Q(r_2/R)^3$. $E(4\pi r_2^2)=Q_{enc}/\varepsilon_0$ → $E_2=\dfrac{kQr_2}{R^3}=\dfrac{9.0\times10^9\times2.0\times10^{-6}\times0.050}{(0.10)^3}=9.0\times10^5$ V/m. 내부에서 $E$는 $r$에 비례, 외부에서는 $1/r^2$로 감소.

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1단계(등온 과정의 일): $W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV$. 이상기체 $P=nRT/V$이므로 $W=nRT\int_{V_1}^{V_2}\dfrac{dV}{V}=nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$. 2단계(대입): $W=(1)(8.31)(300)\ln(4/2)=2493\times0.693\approx1728\text{ J}\approx1730\text{ J}$. 3단계(에너지 흐름): 등온이므로 $\Delta U=0$, 열역학 1법칙 $Q=W+\Delta U=W$ → 기체가 받은 열이 모두 일로 전환.

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1단계(어두운 무늬 조건): 단일 슬릿 회절에서 어두운 무늬는 $a\sin\theta=m\lambda$ ($m=\pm1,\pm2,\ldots$). 2단계(작은 각 근사): $\sin\theta\approx\tan\theta=y/L$. 제1 어두운 무늬 위치 $y_1=L\lambda/a=(2.0)(600\times10^{-9})/(1.0\times10^{-4})=1.2\times10^{-2}\text{ m}=12\text{ mm}$. 3단계(중앙 극대의 폭): 양옆 제1 어두운 무늬 사이 거리 $=2y_1=24$ mm. 중앙 극대는 다른 극대보다 두 배 넓다.

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1단계(일반형 비교): $y=A\sin(kx-\omega t)$ 형태 → $k=10$ rad/m, $\omega=200$ rad/s, $A=0.050$ m. 부호 $(kx-\omega t)$는 $+x$ 방향 진행을 의미(위상이 일정하려면 $x$가 $t$와 같이 증가). 2단계(속력): $v=\omega/k=200/10=20$ m/s. 3단계(진동수): $f=\omega/(2\pi)=200/(2\pi)\approx31.83$ Hz. 파장은 $\lambda=2\pi/k\approx0.628$ m이고, $v=f\lambda$로 검산: $31.83\times0.628\approx20$ ✓.

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1단계(서쪽 성분 = 강물 상쇄): 보트의 서쪽 분속도가 강물의 동쪽 흐름을 정확히 상쇄해야 직진 북쪽 합성속도가 된다. $v_b\sin\theta=v_w \Rightarrow \sin\theta=3/5=0.6 \Rightarrow \theta=37°$. 2단계(북쪽 합성 속력): $v_N=v_b\cos\theta=5\times0.8=4.0\text{ m/s}$. 3단계(시간): $t=w/v_N=120/4.0=30\text{ s}$. 강 한복판에서 잠시 멈춰도 동쪽으로 떠내려간다는 직관을 벡터 분해로 확인한 것.

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1단계(유도 기전력): $\varepsilon=BLv=(0.50)(0.40)(2.0)=0.40\text{ V}$ (운동 EMF). 2단계(유도 전류): $I=\varepsilon/R=0.40/4.0=0.10\text{ A}$. 3단계(막대에 작용하는 자기력, 렌츠의 법칙에 의해 운동을 방해하는 방향): $F=BIL=(0.50)(0.10)(0.40)=0.020\text{ N}$. 4단계(등속을 유지하려면 외력 = 자기력 크기, 방향 반대): $P_{ext}=Fv=(0.020)(2.0)=0.040\text{ W}$. 검산(저항 소비전력): $P_R=I^2R=(0.10)^2(4.0)=0.040\text{ W}$ ✓. 외부 일이 모두 줄열로 전환된다(에너지 보존).

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1단계(분자 한 개 질량): $m=M/N_A=(4.0\times10^{-3})/(6.02\times10^{23})\approx6.64\times10^{-27}$ kg. 2단계(에너지 등식): $\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle=\tfrac{3}{2}k_BT \Rightarrow \langle v^2\rangle=\dfrac{3k_BT}{m}=\dfrac{3RT}{M}$ (몰 단위). 3단계(대입, 몰 단위가 편함): $v_{rms}=\sqrt{3RT/M}=\sqrt{3(8.31)(300)/(4.0\times10^{-3})}=\sqrt{1.87\times10^6}\approx1368$ m/s. 헬륨이 가벼워 같은 온도에서 공기 분자(약 500 m/s)보다 훨씬 빠르다.

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1단계(말뤼스의 법칙): 두 편광판의 투과축 사이 각이 $\theta$일 때, 입사한 편광의 강도는 $I_{out}=I_{in}\cos^2\theta$. 2단계(P2 통과): $I_2=I_0\cos^2(60°)=I_0(1/2)^2=I_0/4$. 3단계(P3 통과): P2와 P3 사이 각은 $30°$. $I_3=I_2\cos^2(30°)=(I_0/4)(\sqrt{3}/2)^2=(I_0/4)(3/4)=3I_0/16$. 흥미로운 점: P1과 P3는 직교($90°$)이므로 P2가 없으면 빛이 완전히 차단되지만, 중간에 P2를 넣자 $3I_0/16$가 통과한다. 양자역학적 측정의 비고전적 효과를 보여주는 고전적 예시.

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1단계(콤프턴 공식): $\Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos\theta)$. 2단계($\cos 60°=0.5$ 대입): $\Delta\lambda=(2.43\text{ pm})(1-0.5)=1.215\text{ pm}\approx1.22$ pm. 3단계(산란 광자 파장): $\lambda'=\lambda+\Delta\lambda=20.0+1.22=21.2$ pm. 산란 후 광자는 에너지를 전자에 일부 넘겨주므로 파장이 길어진다($E=hc/\lambda$ 감소). $\Delta\lambda$는 입사 파장과 무관하고 산란각에만 의존한다는 점이 콤프턴 실험의 결정적 증거였다. 4단계(검산): $\theta=180°$(정면 반사)일 때 최대 $\Delta\lambda=2\lambda_C\approx4.86$ pm. 우리 결과는 이보다 작아 합리적.

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길이 수축 공식 $L=L_0\sqrt{1-v^2/c^2}$를 사용한다. $v=0.6c$이므로 $\sqrt{1-0.36}=\sqrt{0.64}=0.8$. 따라서 $L=100\times 0.8=80\,\text{m}$. 길이 수축은 운동 방향으로만 일어나며, 우주선과 함께 움직이는 관측자는 여전히 $100\,\text{m}$로 측정한다.

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강폭 방향(북) 속도는 배의 자력 속도 $v=4\,\text{m/s}$이고 강물의 흐름은 이와 수직이므로 강을 건너는 시간에 영향을 주지 않는다. $t=d/v=60/4=15\,\text{s}$. 같은 시간 동안 동쪽으로 흐르는 강물에 의해 떠밀리는 거리는 $\Delta x=ut=3\times 15=45\,\text{m}$.

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$E_3=-\dfrac{13.6}{9}\approx-1.511\,\text{eV}$, $E_2=-\dfrac{13.6}{4}=-3.40\,\text{eV}$. 방출 광자 에너지는 두 준위의 차이로, $h\nu=E_3-E_2=-1.511-(-3.40)=1.89\,\text{eV}$. 이 광자는 발머 계열의 H-알파선(파장 약 656 nm, 빨강)에 해당한다.

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RC 충전 회로에서 축전기 전압은 $V(t)=V_0\bigl(1-e^{-t/RC}\bigr)$. 시정수 $\tau=RC=10\times 100\times 10^{-6}=10^{-3}\,\text{s}$. $t=2\tau$이므로 $V=10\bigl(1-e^{-2}\bigr)=10(1-0.135)=8.65\,\text{V}$. 시정수의 약 2배가 지나면 거의 87%까지 충전된다.

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케플러 제3법칙에서 $T^2/a^3$가 같은 항성을 도는 행성 사이에 일정. 따라서 $T_{\text{화성}}=T_{\text{지구}}\bigl(a_{\text{화성}}/a_{\text{지구}}\bigr)^{3/2}=1\times(1.52)^{1.5}\approx 1.87$년. 실제 화성의 공전 주기는 약 1.881년으로 잘 들어맞는다.

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양 끝 고정 줄의 $n$차 모드 진동수는 $f_n=\dfrac{nv}{2L}$. 기본진동수 $f_1=\dfrac{120}{2\times 1.2}=50\,\text{Hz}$이고 3차 조화는 $f_3=3f_1=150\,\text{Hz}$. 3차 모드는 파장 $\lambda_3=2L/3=0.8\,\text{m}$, 배 3개, 마디는 양 끝 포함 4개이다.

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이상기체의 가역 등온 팽창에서 일은 $W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV=nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$. 값을 대입하면 $W=1\cdot 8.31\cdot 300\cdot\ln 2=2493\times 0.693\approx 1728\,\text{J}$. 등온 과정에서 내부에너지 변화 $\Delta U=0$이므로 흡수 열량도 같은 1728 J이다.

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$\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{3-1}{30}=\dfrac{2}{30}$이므로 $v=15\,\text{cm}$. 배율 $m=-v/u=-15/30=-0.5$. 음의 부호는 도립을, 절댓값 1보다 작은 것은 축소된 실상임을 뜻한다. 물체가 초점거리 2배($2f=20\,\text{cm}$) 밖에 있을 때 나타나는 전형적 결상이다.

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S 좌표계에서 빛은 양쪽으로 같은 속력 $c$로 퍼진다. 광원이 빛을 방출한 순간 우주선은 $+x$로 움직이므로 뒤쪽 검출기 A는 빛을 향해 마중 나가고, 앞쪽 검출기 B는 빛으로부터 달아난다. 따라서 A까지의 빛 이동 거리가 더 짧아 빛이 먼저 도달한다. 한편 우주선과 함께 움직이는 좌표계에서는 두 검출기에 동시 도달한다. 이렇게 한 좌표에서 동시인 사건이 다른 좌표에서는 동시가 아닌 것이 동시성의 상대성이다.

📖 풀이:
저항이 없으므로 축전기 에너지와 인덕터 에너지가 진동하며 보존된다. $\dfrac{Q_0^2}{2C}=\dfrac{1}{2}LI_{\max}^2$에서 $I_{\max}=Q_0/\sqrt{LC}$. 수치 대입: $LC=10\cdot 10^{-3}\times 100\cdot 10^{-6}=10^{-6}\,\text{s}^2$, $\sqrt{LC}=10^{-3}\,\text{s}$. 따라서 $I_{\max}=\dfrac{10^{-3}\,\text{C}}{10^{-3}\,\text{s}}=1\,\text{A}$. 각진동수는 $\omega=10^3\,\text{rad/s}$, 즉 약 159 Hz로 진동한다.

📖 풀이:
수면(지점 1)과 구멍(지점 2)에 베르누이 방정식 적용. 두 지점 모두 대기압이므로 압력항 소거, 수면 속력 무시($v_1\approx 0$), 높이차 $h$. 그러면 $\rho g h=\dfrac{1}{2}\rho v_2^2$, 즉 $v_2=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot 5}=\sqrt{98}\approx 9.9\,\text{m/s}$. 이것이 토리첼리 정리이며, 마치 자유낙하한 물체가 갖는 속력과 같다.

📖 풀이:
가장 짧은 파장은 가장 큰 에너지 차에서 나오며, 그 극한은 $n=\infty\to n=1$. 광자 에너지 $E=E_\infty-E_1=0-(-13.6)=13.6\,\text{eV}$로 이온화 에너지와 같다. 파장은 $\lambda=hc/E=1240/13.6\approx 91.2\,\text{nm}$. 자외선 영역에 속하며 '라이먼 한계'라 부른다.

📖 풀이:
수평 운동과 수직 운동은 서로 독립이다.\n(1) 수직 자유낙하: $h=\tfrac{1}{2}gt^2$ → $t=\sqrt{2h/g}=\sqrt{2\cdot45/10}=\sqrt{9}=3\text{ s}$.\n(2) 수평 등속: $R=v_0 t = 20\times 3 = 60\text{ m}$.\n초기 수직 속력이 0이므로 수평 도달거리는 수평 속력과 비행시간의 곱이 된다.

📖 풀이:
등속 원운동에서 구심가속도는 항상 원의 중심을 향하며 크기는\n$$a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{(10)^2}{2.0}=\frac{100}{2.0}=50\text{ m/s}^2$$\n자동차의 속력은 일정하지만 속도 방향이 끊임없이 바뀌므로 가속도는 0이 아니다.

📖 풀이:
LC 회로의 고유 각진동수는 $\omega_0=1/\sqrt{LC}$이고 주기는\n$$T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{0.10\times 10\times 10^{-6}}=2\pi\sqrt{10^{-6}}=2\pi\times 10^{-3}\text{ s}\approx 6.28\text{ ms}$$\n축전기에 저장된 전기에너지와 인덕터에 저장된 자기에너지가 주기적으로 교환되며 단순조화진동을 한다.