🔬 고등 물리Ⅰ

📖 풀이:
먼저 최대정지마찰력을 계산한다. $f_{s,\max}=\mu_s mg=0.40\times 5\times 10=20\,\text{N}$. 가한 힘 $15\,\text{N}$이 최대정지마찰력 $20\,\text{N}$보다 작으므로 물체는 움직이지 않고 정지 상태를 유지한다. 정지 상태에서는 알짜힘이 0이어야 하므로 정지마찰력은 가한 힘과 같은 크기인 $15\,\text{N}$이다. 운동마찰계수는 물체가 움직일 때만 적용되므로 이 문제에서는 사용하지 않는다.

📖 풀이:
이상기체 상태방정식 $PV=nRT$를 사용한다. $n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{(1.0\times 10^5)(0.0249)}{(8.3)(300)}=\dfrac{2490}{2490}=1.0\,\text{mol}$. 표준상태(0°C, 1기압)에서 이상기체 1몰의 부피가 약 $22.4\,\text{L}=0.0224\,\text{m}^3$임을 떠올리면, 300 K(약 27°C)에서는 좀 더 큰 약 0.025 m³가 되어 결과가 합리적이다.

📖 풀이:
드브로이의 물질파 가설에 따르면 운동량 $p=mv$를 가지는 입자는 파장 $\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv}$의 파동성을 보인다. 대입하면 $\lambda=\dfrac{6.6\times 10^{-34}}{(9.1\times 10^{-31})(2.0\times 10^6)}=\dfrac{6.6\times 10^{-34}}{1.82\times 10^{-24}}\approx 3.6\times 10^{-10}\,\text{m}$. 이 값은 원자 크기(약 $10^{-10}\,\text{m}$) 정도이므로, 전자가 결정 격자에서 회절 무늬를 만들 수 있음을 보여준다(데이비슨·거머 실험의 핵심).

📖 풀이:
등압 과정에서 기체가 외부에 한 일은 $W=P\Delta V$이다. 압력이 일정하므로 $P-V$ 도표에서 직선 아래 직사각형의 면적과 같다. 대입하면 $W=(2.0\times 10^5)(0.15-0.10)=(2.0\times 10^5)(0.05)=1.0\times 10^4\,\text{J}=10\,\text{kJ}$. 부피가 증가했으므로 일은 양수이고, 기체가 외부에 일을 한 것이다.

📖 풀이:
가속도 - 시간 그래프에서 가속도 곡선 아래 면적(부호 포함)이 속도 변화량 $\Delta v$이다. (1) $0\le t\le 2\,\text{s}$ 구간: $\Delta v_1=a_1\cdot\Delta t=(+3)(2)=+6\,\text{m/s}$, 따라서 $t=2\,\text{s}$에서 속도 $v=4+6=+10\,\text{m/s}$. (2) $2\,\text{s}\le t\le 5\,\text{s}$ 구간: $\Delta v_2=(-2)(3)=-6\,\text{m/s}$, 따라서 $t=5\,\text{s}$에서 속도 $v=10+(-6)=+4\,\text{m/s}$. 질량은 속도 계산에 직접 필요하지 않다(함정).

📖 풀이:
물체를 일정한 속도로 끌어올린다 → 알짜힘은 0(평형). 경사면 방향 평형식을 세운다. 위 방향 성분: $F$. 아래 방향 성분: 중력의 경사면 성분 $mg\sin\theta$, 운동마찰력 $f_k=\mu_k N=\mu_k mg\cos\theta$(운동 방향이 위쪽이므로 마찰은 아래쪽). 따라서 $F=mg\sin\theta+\mu_k mg\cos\theta=mg(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)$. 대입: $F=(2)(10)(0.50+0.20\times 0.87)=20\times(0.50+0.174)=20\times 0.674\approx 13.5\,\text{N}$.

📖 풀이:
에너지 준위를 계산한다. $E_2=-\dfrac{13.6}{2^2}=-\dfrac{13.6}{4}=-3.40\,\text{eV}$, $E_3=-\dfrac{13.6}{3^2}=-\dfrac{13.6}{9}\approx -1.51\,\text{eV}$. 더 높은 준위에서 낮은 준위로 전이할 때 방출되는 광자의 에너지는 두 준위의 차이와 같다: $h\nu=E_3-E_2=(-1.51)-(-3.40)=1.89\,\text{eV}$. 이 광자는 발머 계열의 $H_\alpha$ 선(파장 약 $656\,\text{nm}$, 붉은빛)에 해당한다.

📖 풀이:
P - V 도표에서 닫힌 순환 곡선이 둘러싼 면적이 한 사이클 동안 기체가 외부에 한 알짜 일이다. 사이클이 시계 방향이면 양의 일(열기관), 반시계면 음의 일(냉동기). 이 도표는 시계 방향 직사각형이므로 알짜 일은 양수이고, 면적은 가로변 $(3V_0-V_0)=2V_0$ 곱하기 세로변 $(2P_0-P_0)=P_0$이다. $W_{\text{net}}=P_0\cdot 2V_0=(1.0\times 10^5)(2\times 1.0\times 10^{-3})=2.0\times 10^2\,\text{J}=200\,\text{J}$. 개별 과정으로 확인해도 같다: A→B(등압팽창) $W_{AB}=2P_0\cdot 2V_0=4P_0V_0$, B→C(등적) $0$, C→D(등압압축) $W_{CD}=P_0\cdot(-2V_0)=-2P_0V_0$, D→A(등적) $0$이므로 합은 $4P_0V_0-2P_0V_0=2P_0V_0=200\,\text{J}$이다.

📖 풀이:
비스듬투사를 수평과 수직 운동으로 분해한다. 수평 성분 $v_{0x}=v_0\cos\theta$(등속), 수직 성분 $v_{0y}=v_0\sin\theta$(중력에 의한 등가속). 출발과 같은 높이에 다시 떨어질 때까지의 비행 시간은 수직 운동에서 $v_y=v_{0y}-gt$가 시작 직후 다시 $-v_{0y}$가 될 때, 즉 $T=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$. 사정거리 $R=v_{0x}\cdot T=\dfrac{v_0^2\cdot 2\sin\theta\cos\theta}{g}=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$. 대입: $R=\dfrac{(20)^2\sin 60°}{10}=\dfrac{400\times 0.866}{10}=\dfrac{346.4}{10}\approx 34.6\,\text{m}$. 사정거리는 $\theta=45°$일 때 최대가 되는 것도 이 식에서 직접 보인다.

📖 풀이:
동전이 회전판과 함께 등속원운동을 하려면, 회전축을 향하는 구심력이 필요하다. 이 구심력을 제공하는 유일한 수평력은 회전판과 동전 사이의 정지마찰력이다. 미끄러지기 직전에는 최대정지마찰력이 작용하며, 그 크기가 필요한 구심력과 같아야 한다: $\mu_s mg=m\omega^2 r$. 질량 $m$이 소거되어 $\omega_{\max}^2=\dfrac{\mu_s g}{r}$. 대입하면 $\omega_{\max}^2=\dfrac{0.40\times 10}{0.20}=20$, $\omega_{\max}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4.47\,\text{rad/s}$. 이보다 빠르게 돌리면 마찰력으로 구심력을 제공할 수 없어 동전이 바깥쪽으로 미끄러진다.

📖 풀이:
각 계열에서 광자 에너지가 가장 작으면 파장이 가장 길고, 가장 크면 파장이 가장 짧다($E=hc/\lambda$). (1) 라이먼 가장 긴 파장: $n=1$로 끝나는 전이 중 광자 에너지가 가장 작은 것은 가장 가까운 위 준위 $n=2$에서 오는 전이. $E_L=E_2-E_1=(-3.40)-(-13.6)=10.20\,\text{eV}$. (2) 발머 가장 짧은 파장: $n=2$로 끝나는 전이 중 광자 에너지가 가장 큰 것은 $n=\infty$에서 오는 전이(계열 한계). $E_B=E_\infty-E_2=0-(-3.40)=3.40\,\text{eV}$. 파장과 에너지는 반비례하므로 $\dfrac{\lambda_L}{\lambda_B}=\dfrac{E_B}{E_L}=\dfrac{3.40}{10.20}=\dfrac{1}{3}$. 따라서 $\lambda_L:\lambda_B=1:3$.

📖 풀이:
등가속도 직선 운동의 공식 $v^2 = v_0^2 + 2as$를 사용한다. 정지하였으므로 $v=0$, $v_0 = 20$ m/s, $s=50$ m. $$0 = (20)^2 + 2a(50)$$ $$100a = -400 \Rightarrow a = -4 \text{ m/s}^2$$ 가속도의 크기는 $4$ m/s$^2$이다.

📖 풀이:
뉴턴의 제3법칙(작용-반작용)에 의해 A가 B에게 작용하는 힘과 B가 A에게 작용하는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다. 따라서 B가 A에게 작용하는 힘의 크기는 $200$ N이다. B의 가속도는 운동방정식 $F = m a$로부터 $$a_B = \frac{F}{m_B} = \frac{200}{80} = 2.5 \text{ m/s}^2$$

📖 풀이:
등속도 운동이므로 알짜힘은 $0$이다. 즉, 엔진이 만드는 추진력은 저항력과 같아 $F = 500$ N이다. 일률은 $$P = F v = 500 \times 20 = 10\,000 \text{ W} = 10 \text{ kW}$$

📖 풀이:
전력 공식 $P = VI$에서 전류는 $$I = \frac{P}{V} = \frac{60}{100} = 0.6 \text{ A}$$ 저항은 $P = \dfrac{V^2}{R}$에서 $$R = \frac{V^2}{P} = \frac{100^2}{60} = \frac{10\,000}{60} \approx 167 \text{ Ω}$$

📖 풀이:
충격량은 $F$-$t$ 그래프 아래 면적이며, 운동량 변화량과 같다 ($J = \int F\,dt = \Delta p$). 삼각형의 면적은 $$J = \frac{1}{2} \times 0.02 \times 100 = 1.0 \text{ N·s}$$ 따라서 운동량 변화량의 크기는 $1.0$ N·s이다.

📖 풀이:
스넬의 법칙 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$를 적용한다. $$1 \times \sin 60° = n \times \sin 30°$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = n \times \frac{1}{2}$$ $$n = \sqrt{3} \approx 1.73$$ 빛이 굴절률이 큰 매질로 들어갈 때 법선 쪽으로 꺾이는 결과와 일치한다.

📖 풀이:
열역학 제1법칙은 $$\Delta U = Q - W$$ 이다. 여기서 $Q$는 기체가 흡수한 열, $W$는 기체가 외부에 한 일이다. $Q = +200$ J, $W = +80$ J이므로 $$\Delta U = 200 - 80 = 120 \text{ J}$$ 즉, 내부에너지는 $120$ J 증가한다.

📖 풀이:
자기력이 구심력 역할을 한다. $$evB = \frac{m v^2}{r} \Rightarrow r = \frac{m v}{e B}$$ 값을 대입하면 $$r = \frac{(9.1 \times 10^{-31})(2.0 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19})(0.5)} = \frac{1.82 \times 10^{-24}}{8.0 \times 10^{-20}} \approx 2.3 \times 10^{-5} \text{ m}$$

📖 풀이:
마찰이 없으므로 역학적 에너지가 보존된다. 압축된 용수철의 탄성위치에너지가 전부 운동에너지로 바뀐다. $$\frac{1}{2}k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$$ $$v = x \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.1 \times \sqrt{\frac{200}{0.5}} = 0.1 \times \sqrt{400} = 0.1 \times 20 = 2 \text{ m/s}$$

📖 풀이:
폭발 전 운동량의 합은 $0$이므로, 폭발 후 세 조각의 운동량 벡터 합도 $0$이다. 나머지 조각의 속도를 $(v_x, v_y)$라 하면 $$x: \quad 0 = (1)(4) + 0 + (1) v_x \Rightarrow v_x = -4 \text{ m/s}$$ $$y: \quad 0 = 0 + (1)(4) + (1) v_y \Rightarrow v_y = -4 \text{ m/s}$$ 속력은 $$|v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ m/s}$$ 방향은 제3사분면 (남서쪽, $-x$축과 $-y$축의 사잇각 $45°$)이다.

📖 풀이:
관찰자는 정지, 음원은 다가오는 경우 도플러 효과 공식은 $$f' = f_0 \cdot \frac{v}{v - v_s}$$ 값을 대입하면 $$f' = 660 \times \frac{330}{330 - 30} = 660 \times \frac{330}{300} = 660 \times 1.1 = 726 \text{ Hz}$$ 다가올 때는 진동수가 커져 더 높은 음으로 들린다.

📖 풀이:
광자 한 개의 에너지는 플랑크의 가설에 의해 $$E = h f$$ 이다. 값을 대입하면 $$E = (6.63 \times 10^{-34}) \times (5.0 \times 10^{14}) = 33.15 \times 10^{-20} \approx 3.3 \times 10^{-19} \text{ J}$$ 이때 파장은 $\lambda = c/f \approx 600\,\text{nm}$로 가시광선의 주황색 영역에 해당한다.

📖 풀이:
질량이 다른 두 물체의 1차원 탄성충돌 공식은 $v_A' = \dfrac{m_A-m_B}{m_A+m_B}v_A$, $v_B' = \dfrac{2m_A}{m_A+m_B}v_A$ 이다. 대입하면 $v_A' = \dfrac{2-6}{8}\times 4 = -2\,\mathrm{m/s}$, $v_B' = \dfrac{2\times 2}{8}\times 4 = 2\,\mathrm{m/s}$. 운동량 점검: $2\times 4 + 0 = 2(-2)+6(2) = 8\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ (보존). 운동에너지 점검: $\tfrac{1}{2}(2)(16) = \tfrac{1}{2}(2)(4)+\tfrac{1}{2}(6)(4) = 16\,\mathrm{J}$ (보존). 따라서 답은 ②.

📖 풀이:
용수철에 저장된 탄성 위치에너지가 모두 물체의 운동에너지로 전환된다. $\tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}mv^2$ 에서 $v = x\sqrt{\dfrac{k}{m}} = 0.1\sqrt{\dfrac{200}{0.5}} = 0.1\sqrt{400} = 0.1\times 20 = 2\,\mathrm{m/s}$. 따라서 답은 ③.