🔬 고등 물리Ⅰ

📖 풀이:
등가속도 직선운동 공식 적용.

1) 속도: $v = v_0 + at = 0 + 2 \times 5 = 10\,\text{m/s}$

2) 이동 거리: $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times 5^2 = 25\,\text{m}$

또는 $v^2 = v_0^2 + 2as$에서 $100 = 0 + 2 \times 2 \times s$, $s = 25\,\text{m}$로 검증 가능.

📖 풀이:
1) 가속도는 v-t 그래프의 기울기.
$$a = \frac{-2 - 6}{4 - 0} = -2\,\text{m/s}^2$$
따라서 가속도 부호는 음(−).

2) 변위는 v-t 그래프의 면적(부호 고려).
- $0\sim 3$s: 삼각형 면적 $= \frac{1}{2}\times 3 \times 6 = +9\,\text{m}$
- $3\sim 4$s: 삼각형 면적 $= \frac{1}{2}\times 1 \times (-2) = -1\,\text{m}$
- 총 변위 $= 9 - 1 = 8\,\text{m}$

3) 평균 속도 $= \dfrac{\text{변위}}{\text{시간}} = \dfrac{8}{4} = +2\,\text{m/s}$

📖 풀이:
지면을 원점, 위 방향을 양의 방향으로 설정.

1) 공 A (옥상에서 자유낙하): 초기위치 $80\,\text{m}$, 초속도 $0$
$$y_A = 80 - \frac{1}{2}g t^2 = 80 - 5t^2$$

2) 공 B (지면에서 수직상방 발사): 초기위치 $0$, 초속도 $+40\,\text{m/s}$
$$y_B = 40t - \frac{1}{2}g t^2 = 40t - 5t^2$$

3) 만나는 조건 $y_A = y_B$:
$$80 - 5t^2 = 40t - 5t^2 \Rightarrow 80 = 40t \Rightarrow t = 2\,\text{s}$$

4) 만나는 높이:
$$y = 40 \times 2 - 5 \times 2^2 = 80 - 20 = 60\,\text{m}$$

검산: $y_A = 80 - 5 \times 4 = 80 - 20 = 60\,\text{m}$로 일치한다.

**다른 풀이(상대운동):** 두 식 모두 $-5t^2$ 항이 같으므로 상대속도로 풀면 더 빠르다. A에 대한 B의 상대속도는 $+40\,\text{m/s}$ (가속도 항이 상쇄). 두 공의 초기 거리 $80\,\text{m}$를 좁히는 데 $t = 80/40 = 2\,\text{s}$. 이때 높이 $= 60\,\text{m}$.

따라서 정답은 ③ $60\,\text{m}$이다.

📖 풀이:
뉴턴 제2법칙 $\sum F = ma$ 적용.

$$a = \frac{F}{m} = \frac{12\,\text{N}}{4\,\text{kg}} = 3\,\text{m/s}^2$$

힘의 방향과 가속도의 방향은 같다.

📖 풀이:
1) 전체 계의 가속도: A와 B는 함께 운동하므로
$$a = \frac{F}{m_A + m_B} = \frac{10}{2+3} = 2\,\text{m/s}^2$$

2) B 하나만 보면 B에 작용하는 알짜힘은 A가 미는 힘 $N$뿐.
$$N = m_B \cdot a = 3 \times 2 = 6\,\text{N}$$

3) 작용-반작용에 의해 A가 B에 미치는 힘 = B가 A에 미치는 힘 = $6\,\text{N}$.

**검증**: A의 운동방정식 $10 - N = m_A \cdot a = 2 \times 2 = 4$, 따라서 $N = 6\,\text{N}$. 일치.

📖 풀이:
A가 무거우므로 A는 아래로, B는 위로 운동. 같은 줄이므로 가속도 크기와 장력은 동일.

1) A의 운동방정식 (아래 방향 양수):
$$m_A g - T = m_A a \Rightarrow 30 - T = 3a \quad \cdots (1)$$

2) B의 운동방정식 (위 방향 양수):
$$T - m_B g = m_B a \Rightarrow T - 20 = 2a \quad \cdots (2)$$

3) 두 식 더하기:
$$30 - 20 = 3a + 2a \Rightarrow 10 = 5a \Rightarrow a = 2\,\text{m/s}^2$$

4) (2)에 대입: $T = 20 + 2 \times 2 = 24\,\text{N}$

**일반식**: $a = \dfrac{(m_A - m_B)g}{m_A + m_B}$, $T = \dfrac{2 m_A m_B g}{m_A + m_B}$

📖 풀이:
충격량 $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.

방향이 반대이므로 부호 주의: 들어올 때를 $-30\,\text{m/s}$, 나갈 때를 $+40\,\text{m/s}$로 놓으면

$$J = m(v_f - v_i) = 0.2 \times (40 - (-30)) = 0.2 \times 70 = 14\,\text{N}\cdot\text{s}$$

크기는 $14\,\text{N}\cdot\text{s}$.

📖 풀이:
외력이 없으므로 운동량 보존 법칙 적용.

초기 총 운동량 $= 0$ (모두 정지).

사람의 속도를 $V$ (공 방향과 반대)로 놓으면:
$$0 = m_\text{사람} \cdot (-V) + m_\text{공} \cdot v_\text{공}$$
$$0 = -60V + 2 \times 15$$
$$V = \frac{30}{60} = 0.5\,\text{m/s}$$

사람은 공의 반대 방향으로 $0.5\,\text{m/s}$의 속도로 밀려난다 (반동).

📖 풀이:
1) 운동량 보존:
$$m_A v_A = (m_A + m_B) v'$$
$$2 \times 6 = (2 + 4) v' \Rightarrow v' = 2\,\text{m/s}$$

2) 충돌 전 운동에너지:
$$K_i = \frac{1}{2} m_A v_A^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 36 = 36\,\text{J}$$

3) 충돌 후 운동에너지:
$$K_f = \frac{1}{2}(m_A + m_B)v'^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\,\text{J}$$

4) 잃은 운동에너지:
$$\Delta K = K_i - K_f = 36 - 12 = 24\,\text{J}$$

따라서 충돌 후 속도는 $v' = 2\,\text{m/s}$, 잃은 운동에너지는 $24\,\text{J}$이므로 정답은 ③이다.

📖 풀이:
일정한 속도이므로 끌어올리는 힘 $F = mg$ (중력과 같은 크기).

$$W = F \cdot s = mg \cdot h = 5 \times 10 \times 4 = 200\,\text{J}$$

이 값은 위치에너지 증가량 $\Delta U = mgh = 200\,\text{J}$과 같다 (일정 속도이므로 운동에너지 변화 $0$).

📖 풀이:
역학적 에너지 보존 법칙 적용.

낙하 시작점에서 위치에너지가 모두 운동에너지로 변환:
$$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$

양변에서 $m$ 약분:
$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20\,\text{m/s}$$

**검증** (운동학): $v^2 = v_0^2 + 2gh = 0 + 400$, $v = 20\,\text{m/s}$. 일치.

📖 풀이:
역학적 에너지 보존 + 비보존력의 일(마찰).

1) 곡면 끝에서의 속력 (역학적 에너지 보존):
$$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v^2 = 2gh = 2 \times 10 \times 5 = 100\,\text{m}^2/\text{s}^2$$
초기 운동에너지 $K = \frac{1}{2}mv^2 = mgh = 2 \times 10 \times 5 = 100\,\text{J}$

2) 거친 구간에서 마찰력:
$$f = \mu mg = 0.25 \times 2 \times 10 = 5\,\text{N}$$

3) 마찰력이 한 일 = 운동에너지 손실 (일-에너지 정리):
$$f \cdot d = K$$
$$5 \cdot d = 100 \Rightarrow d = 20\,\text{m}$$

**물리적 의미**: 위치에너지 $mgh$가 모두 마찰열로 소산된다. 즉 $\mu mg \cdot d = mgh$이므로 $d = h/\mu = 5/0.25 = 20\,\text{m}$ (한 줄로도 가능).

📖 풀이:
열역학 제1법칙에 의해 기체에 가한 열량은 내부에너지 증가와 기체가 외부에 한 일의 합과 같다.
$$Q = \Delta U + W$$
따라서 $\Delta U = Q - W = 100 - 30 = 70\ \text{J}$.

📖 풀이:
파동의 기본 관계식은 $v=f\lambda$이다.
$$v = f\lambda = 200\ \text{Hz} \times 1.5\ \text{m} = 300\ \text{m/s}$$

📖 풀이:
옴의 법칙 $V=IR$에서
$$I = \frac{V}{R} = \frac{10\ \text{V}}{5\ \Omega} = 2\ \text{A}$$

📖 풀이:
카르노 열기관의 효율은 두 열원의 절대온도만으로 결정된다.
$$\eta_{\text{max}} = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{300}{400} = \frac{1}{4} = 25\%$$

📖 풀이:
스넬의 법칙 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$를 적용한다.
$$1 \cdot \sin 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \sin\theta_2$$
$$\sin\theta_2 = \frac{\sin 45^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$
따라서 $\theta_2 = 30^\circ$.

📖 풀이:
1단계: 병렬 합성 저항을 구한다.
$$R_{12} = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} = \frac{6 \times 3}{6+3} = 2\ \Omega$$
2단계: 회로의 총저항.
$$R_{\text{tot}} = R_3 + R_{12} = 2 + 2 = 4\ \Omega$$
3단계: 총전류.
$$I = \frac{V}{R_{\text{tot}}} = \frac{12}{4} = 3\ \text{A}$$
4단계: 병렬 부분 양단 전압.
$$V_{12} = I \cdot R_{12} = 3 \times 2 = 6\ \text{V}$$
5단계: $R_1$에 흐르는 전류.
$$I_1 = \frac{V_{12}}{R_1} = \frac{6}{6} = 1\ \text{A}$$

📖 풀이:
전류가 흐르는 직선 도선이 자기장에서 받는 힘은 $F=BIL\sin\theta$이며, 자기장과 전류 방향이 수직이면 $\sin\theta=1$이다.
$$F = BIL = 0.2\ \text{T} \times 4\ \text{A} \times 0.5\ \text{m} = 0.4\ \text{N}$$

📖 풀이:
패러데이의 전자기 유도 법칙에 의해 유도 기전력의 크기는
$$|\varepsilon| = N \left|\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\right|$$
자속의 변화량 $|\Delta \Phi| = |0.005 - 0.02| = 0.015\ \text{Wb}$이므로
$$|\varepsilon| = 100 \times \frac{0.015}{0.1} = 100 \times 0.15 = 15\ \text{V}$$

📖 풀이:
아인슈타인의 광전효과 식에 의해
$$E_{k,\text{max}} = hf - W$$
여기서 광자 에너지 $hf=E=5.0\ \text{eV}$, 일함수 $W=2.0\ \text{eV}$이므로
$$E_{k,\text{max}} = 5.0 - 2.0 = 3.0\ \text{eV}$$

📖 풀이:
이중슬릿 간섭에서 인접 밝은 무늬(또는 인접 어두운 무늬) 사이의 간격은
$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$$
SI 단위로 환산하면 $\lambda = 600 \times 10^{-9}\ \text{m}$, $L = 1.0\ \text{m}$, $d = 0.1 \times 10^{-3}\ \text{m} = 1.0 \times 10^{-4}\ \text{m}$이다.
$$\Delta y = \frac{(600 \times 10^{-9})(1.0)}{1.0 \times 10^{-4}} = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{m} = 6.0\ \text{mm}$$

📖 풀이:
1단계: 두 병렬 가지의 저항을 각각 계산한다.
위쪽 가지: $R_2 = 6\ \Omega$
아래쪽 가지: $R_3 + R_4 = 4 + 2 = 6\ \Omega$
2단계: 두 가지가 모두 $6\ \Omega$이므로 병렬 합성은
$$R_{\text{병렬}} = \frac{6 \times 6}{6+6} = 3\ \Omega$$
3단계: 회로 총저항.
$$R_{\text{tot}} = R_1 + R_{\text{병렬}} = 2 + 3 = 5\ \Omega$$
4단계: 총전류.
$$I = \frac{V}{R_{\text{tot}}} = \frac{20}{5} = 4\ \text{A}$$
5단계: 병렬부 양단 전압.
$$V_{\text{병렬}} = I \cdot R_{\text{병렬}} = 4 \times 3 = 12\ \text{V}$$
6단계: 아래쪽 가지에 흐르는 전류.
$$I_{34} = \frac{V_{\text{병렬}}}{R_3+R_4} = \frac{12}{6} = 2\ \text{A}$$
7단계: $R_4$ 양단 전압.
$$V_4 = I_{34} \cdot R_4 = 2 \times 2 = 4\ \text{V}$$

📖 풀이:
1단계: 운동하는 도선에 유도되는 기전력은
$$\varepsilon = BLv = 0.4 \times 0.5 \times 2 = 0.4\ \text{V}$$
2단계: 회로에 흐르는 유도전류.
$$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{0.4}{0.2} = 2\ \text{A}$$
3단계: 자기장이 전류 흐르는 도선에 작용하는 힘(렌츠 법칙에 의해 운동 반대 방향).
$$F_{\text{자기}} = BIL = 0.4 \times 2 \times 0.5 = 0.4\ \text{N}$$
4단계: 일정 속력 유지를 위해 외력은 자기력과 크기가 같고 방향은 반대.
$$F_{\text{외}} = 0.4\ \text{N}$$
5단계: 외력의 일률.
$$P = F_{\text{외}} \cdot v = 0.4 \times 2 = 0.8\ \text{W}$$
에너지 보존 확인: 저항에서 소비되는 전력 $P_R = I^2 R = 2^2 \times 0.2 = 0.8\ \text{W}$로 일치한다.

📖 풀이:
수평투사에서 수평·수직 운동은 독립적이다. 수직 방향은 정지 상태에서의 자유낙하와 같으므로 $h=\frac{1}{2}gt^2$이 성립한다. 대입하면 $20=\frac{1}{2}(10)t^2$, $t^2=4$, $t=2.0\,\text{s}$. 수평 초기속도 $15\,\text{m/s}$는 낙하 시간에 영향을 주지 않는다.