🔬 고등 물리Ⅱ

📖 풀이:
수평 던지기에서 수평·수직 운동은 서로 독립이다. 수직 방향: $h=\frac{1}{2}gt^2$에서 $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot20}{10}}=2$ s. 수평 방향은 등속이므로 $R=v_0 t=15\cdot2=30$ m.

📖 풀이:
등속원운동의 구심가속도는 $a_c=\dfrac{v^2}{r}$. 대입하면 $a_c=\dfrac{4^2}{0.5}=\dfrac{16}{0.5}=32$ m/s$^2$. 방향은 항상 원의 중심을 향한다.

📖 풀이:
이상기체 상태방정식 $PV=nRT$에서 압력과 몰수가 일정하면 $\dfrac{V}{T}=\mathrm{const}$ (샤를의 법칙). 절대온도로 변환하면 $T_1=27+273=300$ K, $T_2=327+273=600$ K. 따라서 $V_2=V_0\cdot\dfrac{T_2}{T_1}=V_0\cdot\dfrac{600}{300}=2V_0$. 섭씨 단위로 비율을 계산하지 않도록 주의한다.

📖 풀이:
용수철-질량계의 각진동수는 $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{400}{1}}=20$ rad/s. 진동수는 $f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{20}{2\pi}=\dfrac{10}{\pi}$ Hz $\approx 3.18$ Hz. 진동수는 진폭과 무관하다는 것이 단순조화운동의 핵심 성질이다.

📖 풀이:
초기 분속도: $v_{0x}=v_0\cos30°=20\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ m/s, $v_{0y}=v_0\sin30°=20\cdot\dfrac{1}{2}=10$ m/s. 최고점에서는 $v_y=0$이므로 도달 시간은 $t=\dfrac{v_{0y}}{g}=\dfrac{10}{10}=1$ s. 수평 변위는 등속이므로 $x=v_{0x}\cdot t=10\sqrt{3}\cdot1=10\sqrt{3}$ m $\approx 17.3$ m.

📖 풀이:
지표면 근처에서는 만유인력이 곧 중력이므로 구심력 조건 $\dfrac{mv^2}{R}=mg$에서 $v=\sqrt{gR}$. 대입하면 $v=\sqrt{9.8\cdot6.4\times10^6}=\sqrt{6.272\times10^7}\approx7920$ m/s $\approx 7.9$ km/s. 이 속력을 '제1 우주속도'라 한다. 참고로 탈출속도(제2 우주속도)는 $\sqrt{2gR}\approx11.2$ km/s.

📖 풀이:
연속방정식 $Av=A'v'$에서 $A'=A/2$이므로 $v'=2v$. 수평관이므로 높이항이 사라지고 베르누이 방정식은 $P+\dfrac{1}{2}\rho v^2=P'+\dfrac{1}{2}\rho v'^2$. 대입: $P'=P+\dfrac{1}{2}\rho v^2-\dfrac{1}{2}\rho(2v)^2=P+\dfrac{1}{2}\rho v^2-2\rho v^2=P-\dfrac{3}{2}\rho v^2$. 좁은 곳에서 유속이 빠르면 압력은 낮아진다.

📖 풀이:
단진자의 주기는 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$로 길이의 제곱근에 비례한다. 길이를 4배로 늘리면 $T_2=2\pi\sqrt{\dfrac{4L}{g}}=2\cdot2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}=2T_1$. 따라서 2배가 된다. 주기는 추의 질량이나 진폭에는 의존하지 않는다(작은 각 근사 범위에서).

📖 풀이:
이중슬릿 간섭에서 $m$차 보강조건은 $d\sin\theta=m\lambda$. 작은 각 근사 $\sin\theta\approx\tan\theta=y/L$이므로 인접 밝은 무늬 간격은 $\Delta x=\dfrac{\lambda L}{d}$. 대입하면 $\Delta x=\dfrac{(500\times10^{-9})(2)}{0.1\times10^{-3}}=\dfrac{10^{-6}}{10^{-4}}=10^{-2}$ m $=1$ cm. 단위 환산에 주의한다.

📖 풀이:
단순조화운동의 전체 역학적 에너지는 보존되며 $E=\dfrac{1}{2}kA^2$. 평형점($x=0$)에서는 위치에너지가 0이므로 전체 에너지가 모두 운동에너지가 된다. $K_{\max}=\dfrac{1}{2}kA^2=\dfrac{1}{2}(50)(0.1)^2=0.25$ J. 한편 $K=\dfrac{1}{2}mv^2$이므로 $v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2K}{m}}=\sqrt{\dfrac{0.5}{2}}=0.5$ m/s. 검증: 각진동수 $\omega=\sqrt{k/m}=5$ rad/s이므로 $v_{\max}=A\omega=0.1\cdot5=0.5$ m/s 일치.

📖 풀이:
대칭성에서 전기장은 직선에 수직(방사상)이고 거리 $r$에만 의존한다. 반지름 $r$, 길이 $L$인 원통을 가우스면으로 택하면, 옆면에서는 $\vec{E}\parallel d\vec{A}$이고 두 원판에서는 $\vec{E}\perp d\vec{A}$라 플럭스에 기여하지 않는다. 따라서 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=E\cdot(2\pi r L)$. 가우스면 내부 전하 $Q_{\text{enc}}=\lambda L$. 가우스 법칙 $E\cdot 2\pi rL=\dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$에서 $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$. 점전하($1/r^2$)와 달리 무한 직선은 $1/r$로 감소함에 주의.

📖 풀이:
로런츠 인자 $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0.36}}=\dfrac{1}{\sqrt{0.64}}=\dfrac{1}{0.8}=1.25$. 상대론적 총에너지 $E=\gamma m_0c^2=1.25\,m_0c^2$. 상대론적 운동에너지는 총에너지에서 정지에너지를 뺀 값 $K=(\gamma-1)m_0c^2=0.25\,m_0c^2$. 비교: 고전적 근사 $\dfrac{1}{2}m_0v^2=\dfrac{1}{2}m_0(0.6c)^2=0.18\,m_0c^2$로 실제값보다 작다. 즉 고속에서는 고전 공식이 운동에너지를 과소평가한다.

📖 풀이:
시정수 $\tau$는 $\tau = RC$로 정의된다. 단계 1: 단위를 SI로 맞춘다. $R = 1.0 \times 10^6\,\Omega$, $C = 2.0 \times 10^{-6}\,\text{F}$. 단계 2: 곱한다. $\tau = (1.0 \times 10^6)(2.0 \times 10^{-6}) = 2.0\,\text{s}$. 단계 3: 의미 확인. $t = \tau$에서 $V_C = V_0(1 - e^{-1}) \approx 0.632\,V_0$이므로 약 63%에 도달한다.

📖 풀이:
단계 1: 각주파수 $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$. 단계 2: $LC = (0.10)(1.0 \times 10^{-6}) = 1.0 \times 10^{-7}$. 단계 3: $\omega = \frac{1}{\sqrt{10^{-7}}} = \sqrt{10^7} \approx 3162\,\text{rad/s}$. 단계 4: 주파수 $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3162}{6.283} \approx 503\,\text{Hz}$.

📖 풀이:
단계 1: 임피던스 공식 $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$. 단계 2: 대입 $Z = \sqrt{30^2 + (80 - 40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\,\Omega$. 단계 3: 위상각 $\tan\phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$, 따라서 $\phi \approx 53°$. 단계 4: $X_L > X_C$이므로 회로는 유도성이고, 전류가 전압보다 $\phi$만큼 뒤진다 (lagging).

📖 풀이:
단계 1: 광자 에너지 $E_{ph} = \frac{hc}{\lambda}$. $hc \approx 1240\,\text{eV·nm}$ (편리한 단위). 단계 2: $E_{ph} = \frac{1240}{400} = 3.10\,\text{eV}$. 단계 3: 광전효과 방정식 $hf = W + K_{max}$에서 $K_{max} = E_{ph} - W = 3.10 - 2.0 = 1.10\,\text{eV}$.

📖 풀이:
단계 1: 드브로이 파장 공식 $\lambda = \frac{h}{p}$. 단계 2: 대입 $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.63 \times 10^{-25}} = 1.0 \times 10^{-9}\,\text{m}$. 단계 3: 단위 환산 $1.0 \times 10^{-9}\,\text{m} = 1\,\text{nm}$.

📖 풀이:
단계 1: 두 준위의 에너지를 구한다. $E_2 = -13.6/4 = -3.40\,\text{eV}$, $E_3 = -13.6/9 \approx -1.51\,\text{eV}$. 단계 2: 방출 광자 에너지 $\Delta E = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.40) = 1.89\,\text{eV}$. 단계 3: 파장 $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1240}{1.89} \approx 656\,\text{nm}$. 이는 발머 계열의 H-알파 선으로, 가시광선 영역의 붉은빛이다.

📖 풀이:
단계 1: 축전기에 저장된 에너지 공식 $U = \frac{1}{2}CV^2$. 단계 2: 단위 환산 $C = 100 \times 10^{-6}\,\text{F} = 1.0 \times 10^{-4}\,\text{F}$. 단계 3: 대입 $U = \frac{1}{2}(1.0 \times 10^{-4})(50)^2 = \frac{1}{2}(1.0 \times 10^{-4})(2500) = 0.125\,\text{J}$.

📖 풀이:
단계 1: 유전체 삽입 시 전기용량은 $\kappa$배가 된다. $C' = \kappa C_0 = 4 C_0$. 단계 2: 전원에서 분리했으므로 전하 $Q$는 보존된다 ($Q' = Q_0 = C_0 V_0$). 단계 3: 새 전압 $V' = Q_0/C' = (C_0 V_0)/(4C_0) = V_0/4$. 단계 4: 새 에너지 $U' = \frac{Q_0^2}{2C'} = \frac{Q_0^2}{8C_0} = \frac{1}{4}\cdot\frac{Q_0^2}{2C_0} = U_0/4$. 줄어든 에너지는 유전체를 끌어당기는 일에 쓰였다.

📖 풀이:
단계 1: 부피 전하밀도 $\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$. 단계 2: 반지름 $r$인 가우스면 내부의 전하 $Q_{enc} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \cdot \frac{r^3}{R^3}$. 단계 3: 구대칭이므로 가우스 법칙 $E \cdot 4\pi r^2 = Q_{enc}/\varepsilon_0$. 단계 4: 정리 $E = \frac{Q_{enc}}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q r^3 / R^3}{r^2} = \frac{kQr}{R^3}$. 내부에서는 $r$에 비례해 선형 증가, 외부 ($r > R$)에서는 $kQ/r^2$로 감소한다.

📖 풀이:
단계 1: 격자 간격 $d$를 구한다. 1 mm당 500개 슬릿이면 $d = \frac{1\,\text{mm}}{500} = 2.0 \times 10^{-6}\,\text{m} = 2000\,\text{nm}$. 단계 2: 회절격자 식 $d\sin\theta = m\lambda$, $m=1$ 대입. 단계 3: $\sin\theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{600}{2000} = 0.30$. 단계 4: $\theta = \arcsin(0.30) \approx 17.5°$.

📖 풀이:
단계 1: 두 반사광의 광로차를 정리한다. 박막 내부 왕복 광로는 $2nt$. 앞면 반사에서만 $\pi$(반파장) 위상 변화가 있으므로 실효 광로차에 $\lambda_0/2$가 추가된다. 단계 2: 보강간섭 조건은 광로차가 정수파장이어야 하므로 $2nt + \lambda_0/2 = m\lambda_0$, 즉 $2nt = (m - 1/2)\lambda_0$. 단계 3: 양의 최소 두께는 $m=1$: $2nt = \lambda_0/2$, $t = \frac{\lambda_0}{4n}$. 단계 4: 대입 $t = \frac{532}{4 \times 1.33} = \frac{532}{5.32} = 100\,\text{nm}$.

📖 풀이:
단계 1: 렌즈 공식에 대입한다. $\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{b}$. 단계 2: $\frac{1}{b} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30}$. 단계 3: $b = 15\,\text{cm}$ (렌즈 반대편, 따라서 실상). 단계 4: 배율 $m = b/a = 15/30 = 1/2$. 물체보다 작고 도립인 실상이 맺힌다 (물체가 $2f$ 밖에 있을 때의 전형적 결과).

📖 풀이:
지면에 대한 수영선수의 속도는 강물의 속도와 강물에 대한 수영선수의 속도의 벡터 합이다. 두 속도는 서로 수직이므로 $|\vec{v}|=\sqrt{v_S^2+v_R^2}=\sqrt{3.0^2+2.0^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$. 따라서 $|\vec{v}|\approx 3.6$ m/s이며, 방향은 북쪽으로부터 동쪽으로 $\tan^{-1}(2/3)\approx 33.7°$ 기울어진 방향이다.