🔬 고등 물리Ⅰ

📖 풀이:
외력이 없는 1차원 충돌이므로 운동량은 보존된다.
충돌 전 총 운동량: $p_i = m_A v_A + m_B v_B = (2)(6) + (4)(0) = 12\ \mathrm{kg\cdot m/s}$.
완전비탄성 충돌이므로 충돌 후 두 물체의 공통 속도 $v'$는
$$(m_A+m_B) v' = p_i \;\Rightarrow\; v' = \dfrac{12}{2+4} = 2\ \mathrm{m/s}.$$
에너지 비교: $K_i = \frac{1}{2}(2)(6^2) = 36\ \mathrm{J}$, $K_f = \frac{1}{2}(6)(2^2) = 12\ \mathrm{J}$.
손실량 $\Delta K = 24\ \mathrm{J}$, 손실 비율 $\dfrac{\Delta K}{K_i} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$.

📖 풀이:
두 블록과 끈을 한 덩어리(질량 $m_1+m_2 = 5\ \mathrm{kg}$)로 보고 뉴턴 2법칙을 적용한다.
$$F = (m_1+m_2) a \;\Rightarrow\; a = \dfrac{10}{5} = 2\ \mathrm{m/s^2}.$$
이제 끈으로 끌려가는 블록 B만 따로 자유물체도를 그리면, B에 작용하는 수평력은 끈의 장력 $T$뿐이다.
$$T = m_2 \, a = 2 \times 2 = 4\ \mathrm{N}.$$
검산: 블록 A에는 외력 $F$(오른쪽)와 끈의 반작용 $T$(왼쪽)가 작용. $F - T = m_1 a \Rightarrow 10 - 4 = 6 = 3 \times 2$ ✓.

📖 풀이:
열역학 제1법칙에서 부호 규약은 '기체가 흡수한 열은 $Q>0$, 기체가 외부에 한 일은 $W>0$'이다.
$$\Delta U = Q - W = 600 - 200 = +400\ \mathrm{J}.$$
이상기체의 내부에너지는 온도에만 의존하므로 $\Delta U > 0$이면 온도도 올라간다. 즉, 등압 팽창에서 흡수한 열 600 J 중 200 J은 기체가 외부에 일을 하는 데 쓰이고, 나머지 400 J이 내부에너지(분자들의 평균 운동에너지)로 저장돼 온도가 상승한다.

📖 풀이:
단일 슬릿 회절에서 첫 어두운 무늬의 각 $\theta$는 $\sin\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ ($a$: 슬릿 폭)로 주어진다. 즉, 회절각의 크기는 $\dfrac{\lambda}{a}$가 클수록 커진다. 같은 슬릿이라면 파장 $\lambda$가 길수록 회절이 잘 일어나며, 반대로 파장이 슬릿 폭에 비해 너무 짧으면 파동은 거의 직진하여 회절이 잘 보이지 않는다. 일상적 비교: 라디오파(파장 수 m)는 건물 모서리를 잘 돌아오지만, 가시광선(파장 수백 nm)은 일반 사물 뒤로 거의 새지 않는 것이 같은 원리이다.

📖 풀이:
패러데이 법칙 $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$의 음의 부호가 곧 렌츠 법칙이다. N극이 다가오면 코일을 아래 방향으로 관통하는 자속이 증가한다. 코일은 이 '변화'를 방해하려 하므로, 증가하는 아래 방향 자속을 상쇄하기 위해 위 방향 자기장을 만든다. 오른손 법칙으로 위 방향 자기장을 만들려면 위에서 봤을 때 전류가 반시계 방향으로 흘러야 하며, 결과적으로 코일의 윗면이 N극이 되어 다가오는 자석의 N극을 밀어낸다. (즉, 외력이 일을 해야 자석을 더 밀어 넣을 수 있다 - 에너지 보존과도 합치.)

📖 풀이:
1단계 - 충돌 (완전비탄성, 운동량 보존, 마찰력은 충격력에 비해 무시).
$$m v_0 = (m+M) v' \;\Rightarrow\; v' = \dfrac{(0.01)(400)}{0.01 + 1.99} = \dfrac{4}{2} = 2\ \mathrm{m/s}.$$
2단계 - 미끄러짐 (일·에너지 정리: 마찰력이 한 일 = 운동에너지 감소).
마찰력 $f = \mu (m+M) g = 0.2 \times 2 \times 10 = 4\ \mathrm{N}$.
초기 운동에너지 $K = \frac{1}{2}(m+M)v'^2 = \frac{1}{2}(2)(2)^2 = 4\ \mathrm{J}$.
$$f \cdot d = K \;\Rightarrow\; d = \dfrac{K}{f} = \dfrac{4}{4} = 1.0\ \mathrm{m}.$$
(또는 감속도 $a = \mu g = 2\ \mathrm{m/s^2}$로 $d = \dfrac{v'^2}{2a} = \dfrac{4}{4}=1.0\ \mathrm{m}$.)

📖 풀이:
마찰이 없으므로 압축된 용수철의 탄성위치에너지가 그대로 물체의 운동에너지로 전환된다.
$$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2.$$
$v$에 대해 풀면
$$v = x \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 0.10 \sqrt{\dfrac{200}{0.5}} = 0.10 \sqrt{400} = 0.10 \times 20 = 2\ \mathrm{m/s}.$$
수치 확인: 탄성에너지 $U = \frac{1}{2}(200)(0.10)^2 = 1\ \mathrm{J}$, 운동에너지 $K = \frac{1}{2}(0.5)(2)^2 = 1\ \mathrm{J}$ ✓.

📖 풀이:
움직이는 도체 막대가 만드는 운동기전력(motional emf)은
$$\varepsilon = B L v = (0.4)(0.5)(2) = 0.4\ \mathrm{V}.$$
같은 결과를 패러데이 법칙으로도 얻을 수 있다: 시간 $\Delta t$ 동안 회로의 면적 변화는 $\Delta A = L v \,\Delta t$이므로 자속 변화 $\Delta \Phi = B \,\Delta A = B L v \,\Delta t$, 따라서 $|\varepsilon| = \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t} = BLv$.
옴의 법칙으로 회로 전류:
$$I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{0.4}{2} = 0.2\ \mathrm{A}.$$
에너지 측면: 막대에 가해야 하는 외력 $F = BIL = (0.4)(0.2)(0.5) = 0.04\ \mathrm{N}$, 외력이 하는 일률 $P_{ext} = Fv = 0.08\ \mathrm{W}$가 회로의 소비전력 $P_R = I^2 R = (0.2)^2 (2) = 0.08\ \mathrm{W}$와 정확히 같다.

📖 풀이:
방출 광자의 에너지는 두 준위의 에너지 차이이다.
$$\Delta E = E_4 - E_3 = \left(-\dfrac{13.6}{16}\right) - \left(-\dfrac{13.6}{9}\right) = 13.6 \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{16}\right).$$
$\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{16-9}{144} = \dfrac{7}{144} \approx 0.0486$.
$$\Delta E \approx 13.6 \times 0.0486 \approx 0.66\ \mathrm{eV}.$$
파장으로 환산: $\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E} \approx \dfrac{(6.6\times10^{-34})(3\times10^8)}{(0.66)(1.6\times10^{-19})} \approx 1.87\times10^{-6}\ \mathrm{m} \approx 1.87\ \mu\mathrm{m}$. 이는 가시광선(약 0.4 - 0.7 μm) 영역보다 파장이 길어 '적외선' 영역에 속한다. (이 전이는 파셴 계열의 첫 번째 선이다.)

📖 풀이:
1단계: 변위 공식 $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$에 대입한다. $60 = 10 \times 4 + \frac{1}{2}a(4)^2 = 40 + 8a$. 2단계: $a = 2.5\,\text{m/s}^2$. 3단계: 속도 공식 $v = v_0 + at = 10 + 2.5 \times 4 = 20\,\text{m/s}$.

📖 풀이:
1단계: 병렬 합성저항 $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 12}{18} = 4\,\Omega$. 2단계: 옴의 법칙 $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12}{4} = 3\,\text{A}$.

📖 풀이:
1단계: 공기저항을 무시하므로 역학적 에너지가 보존된다. 출발 지점의 위치에너지 = 지면에서의 운동에너지. 2단계: $K_f = U_i = mgh = 0.5 \times 10 \times 5 = 25\,\text{J}$.

📖 풀이:
1단계: 무거운 쪽이 아래로, 가벼운 쪽이 위로 움직인다. 계 전체에 뉴턴 제2법칙을 적용. $(m_2 - m_1)g = (m_1 + m_2)a$. 2단계: $a = \frac{(5-3) \times 10}{3+5} = \frac{20}{8} = 2.5\,\text{m/s}^2$. 3단계: 가벼운 쪽(m1)에 대해 $T - m_1 g = m_1 a$이므로 $T = m_1(g+a) = 3 \times (10+2.5) = 37.5\,\text{N}$.

📖 풀이:
1단계: 방망이가 친 방향을 +로 잡으면 공의 처음 속도 $v_i = -40\,\text{m/s}$, 나중 속도 $v_f = +60\,\text{m/s}$. 2단계: 운동량 변화 $\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.15 \times (60 - (-40)) = 0.15 \times 100 = 15\,\text{kg·m/s}$. 3단계: 충격량-운동량 정리 $F\Delta t = \Delta p$로부터 $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{15}{0.01} = 1500\,\text{N}$.

📖 풀이:
1단계: 양 끝이 고정된 줄의 기본진동에서는 줄 길이가 반파장과 같다. $\lambda = 2L = 2.0\,\text{m}$. 2단계: 파동방정식 $v = f\lambda$로부터 $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{200}{2.0} = 100\,\text{Hz}$.

📖 풀이:
1단계: 무한 직선 전류 주위의 자기장 공식 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$. 2단계: 대입하면 $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5}{2\pi \times 0.10} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{0.10} = 1.0 \times 10^{-5}\,\text{T}$. 자기장 방향은 오른나사 법칙으로 결정한다.

📖 풀이:
1단계: 줄의 장력은 진행 방향과 수직이라 일을 하지 않는다. 공기저항과 마찰을 무시하므로 역학적 에너지가 보존된다. $\frac{1}{2}mv^2 = mgh$. 2단계: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.20} = \sqrt{4} = 2.0\,\text{m/s}$.

📖 풀이:
1단계: 이상기체의 등온 팽창에서 기체가 한 일은 $W = nRT \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$. 2단계: 부피비 $\frac{V_f}{V_i} = 3$이므로 $W = 2 \times 8.31 \times 300 \times \ln 3 \approx 2 \times 8.31 \times 300 \times 1.10 \approx 5485\,\text{J} \approx 5.5\,\text{kJ}$.

📖 풀이:
1단계: 자기장에 수직으로 입사한 하전 입자는 로런츠 힘이 구심력 역할을 한다. $evB = \frac{m_e v^2}{r}$. 2단계: 반지름을 풀면 $r = \frac{m_e v}{eB}$. 3단계: 대입하면 $r = \frac{(9.0 \times 10^{-31})(8.0 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19})(1.0 \times 10^{-3})} = \frac{7.2 \times 10^{-24}}{1.6 \times 10^{-22}} = 4.5 \times 10^{-2}\,\text{m}$ (= 4.5 cm).

📖 풀이:
1단계: 방출되는 광자의 에너지는 두 준위의 에너지 차 $\Delta E = E_\text{초기} - E_\text{최종}$. 2단계: $E_3 = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51\,\text{eV}$, $E_2 = -\frac{13.6}{4} = -3.40\,\text{eV}$. 3단계: $\Delta E = -1.51 - (-3.40) = 1.89\,\text{eV}$. 이 광자는 발머 계열의 H-α선(파장 약 656 nm, 가시광선 빨강)에 해당한다.

📖 풀이:
최고점에서는 속도가 순간적으로 $0$이 된다. 등가속도 운동 공식 $v = v_0 - gt$에 대입하면, $0 = 20 - 10t$이므로 $t = 2$초. 따라서 최고점까지의 도달 시간은 2초이다.

📖 풀이:
직렬 회로의 합성 저항은 $R = R_1 + R_2 = 4 + 8 = 12\,\Omega$이다. 회로 전류는 옴의 법칙으로 $I = V/R = 12/12 = 1$ A. 따라서 $R_2$에 걸리는 전압은 $V_2 = IR_2 = 1 \times 8 = 8$ V이다.

📖 풀이:
자기장에 수직으로 운동하는 전하가 받는 자기력의 크기는 $F = qvB$이다. 대입하면 $F = (4 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{5}) \times 0.2 = (20 \times 10^{-1}) \times 0.2 = 2 \times 0.2 = 0.4$ N이다.

📖 풀이:
충격량은 $J = F \cdot \Delta t = 6 \times 4 = 24$ N$\cdot$s. 충격량은 운동량의 변화량과 같으므로 $J = m \Delta v$. 정지에서 출발했으므로 $\Delta v = v$이고, $v = J/m = 24/2 = 12$ m/s이다.

📖 풀이:
먼저 두 물체를 한 덩어리로 보면 전체 가속도는 $a = \dfrac{F}{m_A + m_B} = \dfrac{20}{3+2} = 4$ m/s$^2$이다. 다음으로 B만 따로 떼어 자유물체도를 그리면, B에 작용하는 알짜힘은 A가 B를 미는 힘 $F_{AB}$ 뿐이다. 따라서 $F_{AB} = m_B \cdot a = 2 \times 4 = 8$ N이다.